三分之一角公式

尺規作圖三等分角已被證實不可行，其也與三分之一角公式非規矩數的推導有關，其證明如下：設可以用尺規作圖將任意角三等分，代表對任意角度是${\displaystyle \theta }$的角，均可以由尺規作圖得到 角度为${\displaystyle {\frac {\theta }{3}}}$的角。这等价于说在已知单位长度和${\displaystyle \cos {\theta }}$的时候能做出${\displaystyle \cos {\frac {\theta }{3}}}$的长度。设L是包含了${\displaystyle \cos {\theta }}$和单位长度1的域。用尺规作图可以得到${\displaystyle z=\cos {\frac {\theta }{3}}}$，说明域扩张的阶数是2的幂次：

${\displaystyle [\mathrm {L} (z):\mathrm {L} ]=2^{s}}$

然而根據三倍角公式：

${\displaystyle \cos \theta =4\cos ^{3}{\frac {\theta }{3}}-3\cos {\frac {\theta }{3}}=4z^{3}-3z}$。

运用多项式的知识可以证明，${\displaystyle z}$在L中的最小多项式的阶数必定不大于3，也就是说是1，2或者3[1]^:512。比如说当角度${\displaystyle \theta =60^{\circ }}$时，L就是${\displaystyle \mathbb {Q} }$（${\displaystyle \cos {\theta }={\frac {1}{2}}\in \mathbb {Q} }$）三倍角公式变成：

${\displaystyle 4z^{3}-3z=\cos {60^{\circ }}={\frac {1}{2}}}$，即是：

${\displaystyle 8z^{3}-6z-1=0}$

这个多项式不可约，所以这个方程的解不属于有理数集${\displaystyle \mathbb {Q} }$，所以可以证明${\displaystyle [\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} ]=3}$。[2]然而3不是2的幂次，这和之前的结论矛盾。如此便说明，無法用尺規作圖將任意角三等分[1]^:525-526。${\displaystyle \Box }$

而上述三次方程透過三次方程求根公式[3]求出來的解即為三分之一角公式。

• 利用三倍角公式
• ${\displaystyle \sin 3\theta =3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta \,}$
• ${\displaystyle \cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \,}$

把它改為：

• ${\displaystyle \sin \theta =3\sin {\frac {\theta }{3}}-4\sin ^{3}{\frac {1}{3}}\theta \,}$
• ${\displaystyle \cos \theta =4\cos ^{3}{\frac {\theta }{3}}-3\cos {\frac {1}{3}}\theta \,}$

把${\displaystyle \cos {\frac {\theta }{3}}\,}$當成未知數，${\displaystyle \cos \theta \,}$當成常數項，解一元三次方程式即可求出

• ${\displaystyle x_{1}={\frac {1}{2{\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}{2}}\,}$
• ${\displaystyle x_{2}=-{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{4{\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}}-{\frac {(1-i{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}{4}}\,}$
• ${\displaystyle x_{3}=-{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{4{\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}}-{\frac {(1+i{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}{4}}\,}$
• 當-90°≤${\displaystyle \theta \,}$≤90°時${\displaystyle \sin {\frac {1}{3}}\theta =x_{3}=-{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{4{\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}}-{\frac {(1+i{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}{4}}\,}$
• 當90°≤${\displaystyle \theta \,}$≤450°時${\displaystyle \sin {\frac {1}{3}}\theta =x_{1}={\frac {1}{2{\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}{2}}\,}$
• 當450°≤${\displaystyle \theta \,}$≤630°時${\displaystyle \sin {\frac {1}{3}}\theta =x_{3}=-{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{4{\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}}-{\frac {(1+i{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}{4}}\,}$
• 當630°≤${\displaystyle \theta \,}$≤990°時${\displaystyle \sin {\frac {1}{3}}\theta =x_{2}=-{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{4{\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}}-{\frac {(1-i{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}{4}}\,}$

利用欧拉公式可以有效地簡化三分之一角公式

${\displaystyle \cos {\frac {\theta }{n}}=\Re \left({\sqrt[{n}]{\cos \theta +i\sin \theta }}\right)={\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{n}]{\cos \theta +i\sin \theta }}+{\sqrt[{n}]{\cos \theta -i\sin \theta }}\right)}$

${\displaystyle \sin {\frac {\theta }{n}}=\Im \left({\sqrt[{n}]{\cos \theta +i\sin \theta }}\right)={\frac {1}{2i}}\left({\sqrt[{n}]{\cos \theta +i\sin \theta }}-{\sqrt[{n}]{\cos \theta -i\sin \theta }}\right)}$

所以

${\displaystyle \cos {\frac {\theta }{3}}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\cos \theta +i\sin \theta }}+{\sqrt[{3}]{\cos \theta -i\sin \theta }}\right)}$

${\displaystyle \sin {\frac {\theta }{3}}={\frac {1}{2i}}\left({\sqrt[{3}]{\cos \theta +i\sin \theta }}-{\sqrt[{3}]{\cos \theta -i\sin \theta }}\right)}$

• 三等分角