分形压缩

二元圖片可被視為一個R²的子集合，一個疊代函數系統被定義為許多由平面R²對映至R²的收縮（contraction）轉換所成的集合，即t₁,…,t_n。

T={ti: R² → R² | i=1,2,…,n}

此種轉換集定義了一個（巨）轉換，轉換對像則是二元影像f₀，二元影像f₀表示成點所成的集合。

一個重要的事實是：如果所有的t_i都具備收縮性，則T具備收縮性，而且T也有定點。

T的定點便是最後的收斂二元影像${\displaystyle T(f_{0})=t_{1}(f_{0})\cup t_{2}(f_{0})\cup \cdots \cup t_{n}(f_{0})=f_{1}}$

因此，${\displaystyle T^{2}(f_{0})=T(f_{1})=t_{1}(f_{1})\cup t_{2}(f_{1})\cup \cdots \cup t_{n}(f_{1})=f_{2}}$，以此類推可求得${\displaystyle T^{n}(f_{0})}$。

令|T|表T的定點，則T的定點（集）可以表示成： ${\displaystyle |T|=f_{\infty }=\lim _{n\to \infty }T^{n}(f_{0})}$

T的定點也是唯一的。也就是說，不管起始的二元影像為何，我們可以重複地將T應用在他上面並且在最後收斂到一張固定的二元影像（定點）。因此，T本身就決定了一張二元影像。

總結來說，給定一張輸入二元影像f₀，應用疊代函數系統T一次，則可得到${\displaystyle T(f_{0})}$，應用兩次則得到${\displaystyle T^{n}(f_{0})}$。他的定點是${\displaystyle \lim _{n\to \infty }T^{n}(f_{0})}$，與起始二元影像f₀昰什麼完全無關，只決定於T。

灰階影像與二元影像的最大不同處在於灰階影像比二元影像多了一個維度。我們可以將一張二元影像表示成許多平面上的點所成的集合，每一個點代表它在影像中是黑色，沒在集合內的點則屬於背景的白色。

因此，可以將一張二元影像表示成{(x_i,y_i)|(x_i,y_i)的顏色為黑色}，換句話說，我們可以將一張二元影像表示成許多位置（平面上的x座標語y座標）所成的集合，而收縮性（兩個點的位置愈來愈靠近）與定點（收斂到某一個特定位置的點）等定義也都是針對位置而言。灰階影像則不然，它除了位置之外，還多了一項灰階值，換句話說，它必須表示成{(x_i,y_i,z_i)|z_i=f(x_i,y_i)，為(x_i,y_i)點的灰階值}。

這麼一來，轉換的收縮性既要滿足兩點的位置變靠近也要滿足兩點的灰階值也變接近，這樣子的轉換會使分形壓縮變複雜。

由於自然灰階影像的自我相似性不是全面的，而是局部的，因此所採用的編碼方法實際上允許將轉換的收縮性著重在灰階值的接近，至於位置的變靠近則由於演算法的設計自然滿足。轉換的定點，當然就是解碼所得到的影像。