半立方抛物线

可以求得 $y$ 得到以下的式子[1]

y=\pm ax^{3 \over 2}.

不同a值的半立方抛物线

半立方抛物线（cuspidal cubic）是一個參數式如下的平面代數曲線[1]

x=t^{2}\,

y=at^{3}.\,

其隱方程為

y^{2}-a^{2}x^{3}=0,

若令 $u = at$ , $X = a 2 x$ ，且令 $Y = a 3 y$ ，可得

X=u^{2}

Y=u^{3}.

這意味著，針對任意的實數 $a$ ，此曲線都可以位似變換到 $a = 1$ 的曲線，也就是說，不同的 $a$ 只對應不同的單位長度。

性質

有一種特殊的半立方抛物线，是抛物线的渐屈线[2]，其方程式為

x={3 \over 4}(2y)^{2 \over 3}+{1 \over 2}.

若將Tschirnhausen cubic catacaustic展開，可以證明也是半立方抛物线[3]：

x=3(t^{2}-3)=3t^{2}-9\,

y=t(t^{2}-3)=t^{3}-3t.\,

半立方抛物线的另一個特性是其為等時曲線，也就是說一物體在其曲線上，因重力而往下移動，在相同的時間內會移動相同的距離。因此此曲線和等時降線有關，也是物體在不同的位置因重力同時往下移動，會在相同的時間到達最下方。此曲線也和最速降線問題有關，物體沿此軌跡，會從起點以最快速度到達終點[4]。

半立方抛物线等時曲線的特性是由雅各布·伯努利為了回答戈特弗里德·莱布尼茨在1687年提出的一個挑戰，在1690年提出此曲線的特性[4]。

Pickover, Clifford A., , , Sterling Publishing Company, Inc.: 148, 2009, ISBN 9781402757969.
Yoder, Joella G., , Cambridge University Press: 88, 2004 [2016-04-06], ISBN 9780521524810, （原始内容存档于2017-08-20）.
埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.
Carnahan, Walter H., , School Science and Mathematics, 1947, 47 (6): 507–511, doi:10.1111/j.1949-8594.1947.tb06153.x.

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