埃尔米特多项式

多项式H_n 的次数与序号n 相同，所以不同的埃尔米特多项式的次数不一样。对于给定的权函数 w，埃尔米特多项式的序列将会是正交序列。

${\displaystyle w(x)=\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}\,\!}$   （概率论）

${\displaystyle w(x)=\mathrm {e} ^{-x^{2}}\,\!}$   （物理学）

也就是说，当m ≠ n 时：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,w(x)\,\mathrm {d} x=0}$

除此之外，还有：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}^{\mathrm {prob} }(x)H_{n}^{\mathrm {prob} }(x)\,\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}\,\mathrm {d} x=n!\,{\sqrt {2\pi }}\delta _{mn}}$   （概率论）

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}^{\mathrm {phys} }(x)H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)\,\mathrm {e} ^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x=n!\,2^{n}{\sqrt {\pi }}\delta _{mn}}$   （物理学）

其中${\displaystyle \delta _{mn}}$是克罗内克函数。

从上式可以看到，概率论中的埃尔米特多项式与标准正态分布正交。

在所有满足

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)\right|^{2}\,w(x)\,\mathrm {d} x<\infty }$

的函数所构成的完备空间中，埃尔米特多项式序列构成一组基。其中的内积定义如下：

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,w(x)\,\mathrm {d} x}$

概率论中的埃尔米特多项式是以下微分方程的解:

${\displaystyle (e^{-x^{2}/2}u')'+\lambda e^{-x^{2}/2}u=0}$

方程的的边界条件为：${\displaystyle u}$应在无穷远处有界。

其中${\displaystyle \lambda }$是这个方程的本征值，是一个常数。要满足上述边界条件，应取${\displaystyle \lambda }$∈${\displaystyle \mathbb {N} }$。对于一个特定的本征值${\displaystyle \lambda }$，对应着一个特定的本征函数解，即${\displaystyle H_{\lambda }^{prob}(x)}$。

而物理学中的埃尔米特多项式则是以下微分方程的解:

${\displaystyle u''-2xu'+2\lambda u=0}$

其本征值同样为${\displaystyle \lambda }$∈${\displaystyle \mathbb {N} }$，对应的本征函数解为${\displaystyle H_{\lambda }^{phys}(x)}$。

以上两个微分方程都称为埃尔米特方程。