外共变导数

在数学中，外共变导数（），时或称为共变外导数（），是流形上的微积分（calculus on manifolds）中一个非常有用的概念，它可能将利用主联络的公式化简。

设 P → M 是光滑流形 M 上一个主 G-丛。如果 ${\displaystyle \phi }$ 是 P 上一个张量性 k-形式，则其外共变导数定义为：

${\displaystyle D\phi (X_{0},X_{1},\dots ,X_{k})=\mathrm {d} \phi (h(X_{0}),h(X_{1}),\dots ,h(X_{k}))}$

这里 h 表示到水平子空间的投影，${\displaystyle H_{x}}$ 由联络定义，其核为该纤维丛的全空间切丛的 ${\displaystyle V_{x}}$（铅直子空间）。这里 ${\displaystyle X_{i}}$ 是 P 上任何向量场。Dφ 是 P 上一个张量性 k+1 形式。

不像通常的外导数的平方是 0，我们有

${\displaystyle D^{2}\phi =\Omega \wedge \phi }$

这里 ${\displaystyle \Omega }$ 表示曲率形式。特别的 ${\displaystyle D^{2}}$ 对平坦联络消没。