奇偶檢驗矩陣

编码理论裡,線性區塊碼 C奇偶檢驗矩陣英語:)是描述码字的成分间必须满足的线性关系的一个矩阵。它可以用来决定一个特定向量是否为码字,也用在译码算法中。

定义

形式上,线性码 C 的奇偶檢驗矩陣 H对偶码 C生成矩阵。这就意味着当且仅当矩阵-向量乘积 Hc = 0(一些作者[1]会写成其等价形式cH = 0)时,码字 c 才会在 C 中。

奇偶檢驗矩陣的行是奇偶检验方程的系数。[2] 也就是說,它們表示每个碼字中的某些數字(成分)如何線性組合可以等於零。例如,奇偶檢驗矩陣

,

紧凑表示了向量 要成为 C 的码字必须满足的奇偶检验方程,

.

根据定义,奇偶检验矩阵直接遵循该码的最小距离为,使得奇偶检验矩阵 H 的任意 d - 1 列都线性无关并且存在 d 列线性相关的最小数 d

建立奇偶檢驗矩陣

某一给定碼的奇偶校驗矩陣可以从其生成矩阵导出(反之亦然)。[3] 若一 [n,k] 码的生成矩陣是標準形式

,

则奇偶檢驗矩陣为

,

因為

.

取反是在有限域 Fq 内进行的。注意如果所处的域的特征为 2(即在这个域中 1 + 1 = 0),如在二元码中一样,因此 -P = P,所以取反是不需要的。

例如,如果一个二元码的生成矩阵

,

则其奇偶檢驗矩陣就是

.

伴随式

对向量空间环境中的任意(行)向量 xs = Hx 称为 x伴随式。当且仅当 s = 0 时向量 x 为码字。计算伴随式是伴随式译码算法的基础。[4]

参见

注释

  1. 比如Roman 1992,p. 200
  2. Roman 1992,p. 201
  3. Pless 1998,p. 9
  4. Pless 1998,p. 20

參考文獻

  • Hill, Raymond. . Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series. Oxford University Press. 1986: 69. ISBN 0-19-853803-0.
  • Pless, Vera, 3rd, Wiley Interscience, 1998, ISBN 0-471-19047-0
  • Roman, Steven, , GTM 134, Springer-Verlag, 1992, ISBN 0-387-97812-7
  • J.H. van Lint. . GTM 86 2nd. Springer-Verlag. 1992: 34. ISBN 3-540-54894-7.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.