定向纏結

空間向量並不足以完整描述空間中的旋轉。考慮如下的例子：[1]

一只咖啡杯，握把與其對側各黏著一條彈性橡皮帶。咖啡杯能以杯碗的中心對稱軸做旋轉。

房間中有一只咖啡杯，握把與對側各黏有一條彈性橡皮帶，橡皮帶的另一端則固定在房間牆壁上，如此使咖啡杯懸浮著。握把以杯碗的中心對稱軸旋轉了360°，回到原來的位置。注意到雖然杯子看似回到原始的位置定向，但其相對牆壁的定向則發生扭結。若我們將咖啡杯壓低至地板上，兩條橡皮帶將互相纏繞成雙螺旋狀的一匝扭轉。此即定向纏結——透過纏繞的橡皮帶可以得知，咖啡杯在房間中的新定向其實不同於舊的定向。換句話說，咖啡杯的定向與週圍牆壁的定向發生了纏結。

若畫一個向量跨越咖啡杯，而向量箭頭朝向咖啡杯握把。在完整旋轉360°後，向量會跟原來的向量疊合。透過向量本身並無法得知咖啡杯的定向與房間牆壁的定向發生纏結。很顯然，空間向量幾何本身並不足以表示定向纏結（橡皮帶的扭結）。事實上，若不再旋轉咖啡杯，則扭結無法解開。若我們不是360°旋轉咖啡杯，而是720°旋轉咖啡杯；當我們將壓低咖啡杯至地板上，會發現兩條橡皮帶將互相纏繞成雙螺旋的兩匝扭轉。若將咖啡杯向上挪，通過螺旋中心挪到另一側，則扭結消失不見，橡皮帶不再彼此纏繞。並不需要做額外的旋轉即恢復原狀。

旋量

因此，透過附在咖啡杯上的向量，我們無法區分360°旋轉與720°旋轉的差異；若附在咖啡杯上的改為旋量，則變成可以區分這兩種情形。在此情況下，旋量變得有點像是一種「極化」的向量，其可表示為一個在莫比烏斯帶上移動的向量。一開始在莫比烏斯帶正面，箭頭朝環帶內；在旋轉360°後，向量移到莫比烏斯帶背面，箭頭朝環帶外。若再轉360°（總和720°），才回到莫比烏斯帶正面，並且箭頭朝環帶內，相應於咖啡杯與橡皮帶的例子。

三維空間中，上述的例子對應到SO(3)李群不是單連通的。我們可以展示亦是三維歐幾里得空間中旋量群的特殊么正群SU(2)，其為SO(3)的雙覆疊群。若X = (x₁,x₂,x₃)是R³中的向量，則我們可以將X表示作具有複數元素的2 × 2矩陣

${\displaystyle X=\left({\begin{matrix}x_{1}&x_{2}-ix_{3}\\x_{2}+ix_{3}&-x_{1}\end{matrix}}\right)}$

注意到矩陣行列式的負值−det(X)正是X作為向量時的歐幾里得長度平方(x₁² + x₂² + x₃²)，而X是跡數為零的厄米矩陣。

么正群M ∈ SU(2)作用在X：

${\displaystyle X\mapsto MXM^{\dagger }}$

因為M是么正的，則${\displaystyle {\rm {{det}(MXM^{\dagger })={\rm {{det}(X)}}}}}$，並且${\displaystyle MXM^{\dagger }}$為零跡數的厄米矩陣。

• Feynman, Leighton, Sands. 《費曼物理學講義》 3 volumes 1964, 1966. Library of Congress Catalog Card No. 63-20717

  • ISBN 0-201-02115-3 (1970 paperback three-volume set)
  • ISBN 0-201-50064-7 (1989 commemorative hardcover three-volume set)
  • ISBN 0-8053-9045-6 (2006 the definitive edition (2nd printing); hardcover)

• Animation of the Dirac belt trick with two belt attached to a (square) object, showing orientation entanglement after one turn, and lack of entanglement after two turns. The animation thus also shows that belted objects behave as spin 1/2 particles. 页面存档备份，存于
• Air on the Dirac Strings, showing orientation entanglement with several belts attached to a spherical particle, by Louis Kauffman and colleagues
• Dirac String Trick