容度

一如測度之於測度論，容度在某種意義下描述一個集合的大小。容度出現在許多數學領域中，特別是逼近理論或複分析。它的起源則與靜電學中電容的概念有關。

對於 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\;(n\geq 2)}$ 上一個有限且帶緊支集的博雷尔测度 μ ，可以抽象地定義相應的位勢函數：

${\displaystyle p_{\mu }(z)=\int {\frac {\mathrm {d} \mu (w)}{|z-w|^{n-2}}}}$

這裡的 μ 在物理上可以想像成一個 ${\displaystyle n}$ 維世界裡的電荷分佈——至少在 ${\displaystyle n=3}$ 時吻合靜電學。μ 的能量則抽象地定義為位勢的總和：

${\displaystyle I(\mu )=\iint |z-w|^{n-2}\;\mathrm {d} \mu (w)\;\mathrm {d} \mu (z)}$

當 n=2 時，兩個定義中的 ${\displaystyle |z-w|^{n-2}}$ 都改取 ${\displaystyle \log |z-w|}$

設 ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}$ 為緊集，其容度定義作

${\displaystyle C(K):={\dfrac {1}{\inf _{\mu }I(\mu )}}}$

其中的下確界取遍支集在 ${\displaystyle K}$ 上的所有博雷尔機率測度 μ。

在一個黎曼曲面 M 上給定一點 ${\displaystyle p}$。若存在一個以 ${\displaystyle p}$ 為極點的格林函數，則它在 ${\displaystyle p}$ 點的一個夠小開鄰域 Ω 上有唯一表法

${\displaystyle g_{p}(x)=\log |x-p|+h_{p}(x)}$

其中 ${\displaystyle h_{p}}$ 是 ${\displaystyle \Omega -\{p\}}$ 上的調和函數。

此時 ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow p}h_{p}(x)}$ 決定 ${\displaystyle M-\Omega }$ 的容度。這些量能用來分類黎曼曲面。根據 ${\displaystyle M}$ 的曲率，可以用雙曲距離或球面距離取代上述定義中的歐氏距離 ${\displaystyle d(z,w)=|z-w|}$，由此可得到雙曲容量與球面容度（或稱橢圓容度）。

• E.D. Solomentsev, , Hazewinkel, Michiel (编), , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• E.D. Solomentsev, , Hazewinkel, Michiel (编), , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• J. L. Doob. Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, ISBN 3-540-41206-9.