對角矩陣

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&0\\0&7\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}2\end{bmatrix}}}$

均為對角矩陣

加法

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&&&\\&a_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{1}&&&\\&b_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&b_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}+b_{1}&&&\\&a_{2}+b_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}+b_{n}\end{bmatrix}}}$

乘法

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&&&\\&a_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&&&\\&b_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&b_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&&&\\&a_{2}b_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}b_{n}\end{bmatrix}}}$

逆矩阵

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&&&\\&a_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}a_{1}^{-1}&&&\\&a_{2}^{-1}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}^{-1}\end{bmatrix}}}$ 若且唯若 ${\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}}$ 均不為零。

• 正方形對角矩陣也是對稱矩陣。
• 對角矩陣是上三角矩陣及下三角矩陣。
• 單位矩陣 ${\displaystyle \mathbf {I} _{n}}$ 及零矩陣恆為對角矩陣。一維的矩陣也恆為對角矩陣。
• 一個對角線上元素皆相等的對角矩陣是数量矩阵，可表示為單位矩陣及一个系数 ${\displaystyle \lambda }$ 的乘積 ${\displaystyle \lambda \mathbf {I} _{n}}$。
• 一對角矩陣 ${\displaystyle {\text{diag}}\left(a_{1},\dots ,a_{n}\right)}$ 的特徵值為 ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$，其特徵向量為單位向量 ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}}$。
• 一對角矩陣 ${\displaystyle {\text{diag}}\left(a_{1},\dots ,a_{n}\right)}$ 的行列式為其特徵值的乘積，即 ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}a_{i}}$。

${\displaystyle n}$阶方阵可进行对角化的充分必要条件是：

• ${\displaystyle n}$阶方阵存在${\displaystyle n}$个线性无关的特征向量
  • 推论：如果这个${\displaystyle n}$阶方阵有${\displaystyle n}$阶个不同的特征值，那么矩阵必然存在相似矩阵
• 如果${\displaystyle n}$阶方阵存在重复的特征值，每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重复次数

• 三角矩陣
• 對角優勢矩陣