平坦擬譜法

因為擬譜法中的微分矩陣${\displaystyle D}$為方陣，因此可以用${\displaystyle D}$的幂次產生多項式${\displaystyle y}$的任意階導數

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {y}}&=DY\\{\ddot {y}}&=D^{2}Y\\&{}\ \vdots \\y^{(\beta )}&=D^{\beta }Y\end{aligned}}}$

其中${\displaystyle Y}$為擬譜變數，而${\displaystyle \beta }$是正整數。 利用微分平坦性，可確定存在函數${\displaystyle a}$及${\displaystyle b}$，可以使狀態變數及控制變數以下式表示

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a(y,{\dot {y}},\ldots ,y^{(\beta )})\\u&=b(y,{\dot {y}},\ldots ,y^{(\beta +1)})\end{aligned}}}$

結合上述概念可以得到平坦擬譜法，將x和u寫成下式

${\displaystyle x=a(Y,DY,\ldots ,D^{\beta }Y)}$

${\displaystyle u=b(Y,DY,\ldots ,D^{\beta +1}Y)}$

因此最佳控制問題可以轉換為只和擬譜變數Y有關的問題[1]。

• 羅斯π引理
• Ross–Fahroo引理
• 貝爾曼擬譜法