拋物面坐標系

從直角坐標 ${\displaystyle (x,\ y,\ z)}$ 變換至拋物面坐標 ${\displaystyle (\lambda ,\ \mu ,\ \nu )}$ ：

${\displaystyle x^{2}={\frac {\left(A-\lambda \right)\left(A-\mu \right)\left(A-\nu \right)}{B-A}}}$ 、

${\displaystyle y^{2}={\frac {\left(B-\lambda \right)\left(B-\mu \right)\left(B-\nu \right)}{A-B}}}$ 、

${\displaystyle z={\frac {1}{2}}\left(A+B-\lambda -\mu -\nu \right)}$ ；

其中，拋物面坐標遵守以下限制：

${\displaystyle \lambda <B<\mu <A<\nu }$ 。

${\displaystyle \lambda }$-坐標曲面是橢圓拋物面 () ：

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\lambda -A}}+{\frac {y^{2}}{\lambda -B}}=2z+\lambda }$ 。

${\displaystyle \mu }$-坐標曲面是雙曲拋物面 ：

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\mu -A}}+{\frac {y^{2}}{\mu -B}}=2z+\mu }$ 。

${\displaystyle \nu }$-坐標曲面也是橢圓拋物面 ：

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\nu -A}}+{\frac {y^{2}}{\nu -B}}=2z+\nu }$ 。

拋物面坐標的標度因子分別為

${\displaystyle h_{\lambda }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\mu -\lambda \right)\left(\nu -\lambda \right)}{\left(A-\lambda \right)\left(B-\lambda \right)}}}}$ 、

${\displaystyle h_{\mu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\nu -\mu \right)\left(\lambda -\mu \right)}{\left(A-\mu \right)\left(B-\mu \right)}}}}$ 、

${\displaystyle h_{\nu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\nu \right)}{\left(A-\nu \right)\left(B-\nu \right)}}}}$ 。

無窮小體積元素等於

${\displaystyle dV={\frac {\left(\mu -\lambda \right)\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}{8{\sqrt {\left(A-\lambda \right)\left(B-\lambda \right)\left(A-\mu \right)\left(\mu -B\right)\left(\nu -A\right)\left(\nu -B\right)}}}}\ d\lambda d\mu d\nu }$ 。

其它微分算子，例如 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ 、${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ，都可以用橢球坐標表達，只需要將標度因子代入正交坐標條目內對應的一般公式。

• Morse PM, Feshbach H. . New York: McGraw-Hill. 1953: p. 664. ISBN 0-07-043316-X. 引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Margenau H, Murphy GM. . New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 184–185. 引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Korn GA, Korn TM. . New York: McGraw-Hill. 1961: p. 180. ASIN B0000CKZX7. 引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Arfken G. 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press. 1970: pp. 119–120. 引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Sauer R, Szabó I. . New York: Springer Verlag. 1967: p. 98. 引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Zwillinger D. . Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 114. ISBN 0-86720-293-9. 引文格式1维护：冗余文本 (link) Same as Morse & Feshbach (1953), 代替 u_k 為 ξ_k.

• Moon P, Spencer DE. . corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. 1988: pp. 44–48 (Table 1.11). ISBN 978-0387184302. 引文格式1维护：冗余文本 (link)

• MathWorld 的拋物面坐標系