施图姆定理

我们首先从以下不含平方因式的多项式构造一个施图姆序列：

${\displaystyle X=a_{n}x^{n}+\ldots +a_{1}x+a_{0}.}$

施图姆序列是把多项式长除法应用于X和它的导数X₁ = X′时，所得到的中间结果的序列。

施图姆序列由以下公式计算：

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{2}&=&-{\rm {rem}}(X,X_{1})\\X_{3}&=&-{\rm {rem}}(X_{1},X_{2})\\&\vdots &\\0&=&-{\rm {rem}}(X_{r-1},X_{r}),\end{matrix}}}$

也就是说，序列中每一项都是前两项相除所得的余数，并将其变号。由于当${\displaystyle 1\leq i<r}$时，${\displaystyle \operatorname {deg} X_{i+1}\leq \operatorname {deg} X_{i}-1}$，因此这个序列最终要停止。最后一个多项式，X_r，就是X和它的导数的最大公因式。由于X没有重根，因此X_r是一个常数。于是，施图姆序列为：

${\displaystyle X,X_{1},X_{2},\ldots ,X_{r}.\,}$

设σ(ξ)为以下序列中符号变化的次数（零不计算在内）：

${\displaystyle X(\xi ),X_{1}(\xi ),X_{2}(\xi ),\ldots ,X_{r}(\xi ),\,\!}$

其中X是不含平方因式的多项式。于是，施图姆定理说明，对于两个实数a < b，半开区间(a,b]中的不同根的个数为σ(a)−σ(b)。

通过恰当选择a和b，这个定理可以用来计算多项式的实根的总个数。例如，柯西发现的一个定理说明，系数为a_i的多项式的所有实根都在区间[−M,M]内，其中：

${\displaystyle M=1+{\frac {\max _{i=0}^{n-1}|a_{i}|}{|a_{n}|}}.\,\!}$

除此以外，我们还可以利用下列事实：对于很大的x，以下多项式的符号

${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+\cdots \,\!}$

是sgn(a_n)，而sgn(P(−x))则是sgn((−1)ⁿa_n)。

用这种方法，仅仅计算施图姆序列中首项系数的符号变化，就可以得出多项式的不同实根的个数。

通过施图姆定理的帮助，我们还可以决定某个给定根（例如ξ）是几重根。确实，假设我们知道ξa和b之间，且σ(a)−σ(b) = 1。那么，ξ是m重根正好当ξ是X_r的m−1重根时（这是因为它是X和它的导数的最大公因式）。

设ξ位于紧区间[a,b]内。[a,b]上的广义施图姆序列，是实系数多项式(X₀，X₁，……，X_r)的一个有限序列，使得：

1. X(a)X(b) ≠ 0
2. sgn(X_r)在[a,b]内是常数
3. 如果当1 ≤ i ≤ r−1时，X_i(ξ) = 0，那么X_i−1(ξ)X_i+1(ξ) < 0。

我们可以验证每一个施图姆序列确实是广义施图姆序列。

• 劳斯–赫尔维茨稳定性判据
• 笛卡儿符号法则

• D.G. Hook and P.R. McAree, "Using Sturm Sequences To Bracket Real Roots of Polynomial Equations" in Graphic Gems I (A. Glassner ed.), Academic Press, p. 416-422, 1990.

• 施图姆定理的C代码