格倫布編碼

令輸入值 為正整數${\displaystyle n}$，參數值為正整數 ${\displaystyle M}$，輸出之格倫布碼為 ${\displaystyle c}$，其中${\displaystyle c}$由兩種編碼組合而成，

${\displaystyle c=(u,b)}$，${\displaystyle u}$：一进制編碼，${\displaystyle b}$：截斷二進制編碼。

計算 ${\displaystyle u}$ 與 ${\displaystyle b}$。

${\displaystyle q=\lfloor {\frac {n}{m}}\rfloor ,}$ ${\displaystyle r=n-q}$。

將 ${\displaystyle q}$ 做一进制編碼，${\displaystyle r}$ 做截斷二進制編碼即可得到${\displaystyle (u,b)}$。

哥倫布-萊斯編碼中的商數${\displaystyle q}$指示了所在區塊，而${\displaystyle r}$指示所在區塊內部的位置。如上圖，對整數 ${\displaystyle N}$做哥倫布-萊斯編碼，${\displaystyle q}$代表區塊、${\displaystyle r}$表示區塊內部位置、${\displaystyle M}$為參數，每個區塊的大小皆相等且長度為${\displaystyle M}$，特別注意當編碼方式為哥倫布-萊斯編碼時，即${\displaystyle M}$為${\displaystyle 2}$的整數次方，所有${\displaystyle r}$的編碼長度相等。

參數${\displaystyle M}$是伯努利過程的函數，其中伯努利過程的參數${\displaystyle p}$定義為${\displaystyle p=P(X=0)}$，則${\displaystyle M}$的所在區間為此伯努利過程的中位數-1到中位數+1之間。如下式：

${\displaystyle (1-p)^{M}+(1-p)^{M+1}\leq 1<(1-p)^{M-1}+(1-p)^{M}.}$

當${\displaystyle M}$足夠大時，我們可以將其表示成，${\displaystyle M=\left\lfloor {\frac {-1}{\log _{2}(1-p)}}\right\rfloor }$。

萊斯編碼(Rice coding，由Robert F. Rice所提出)，為一種前綴碼，歸屬於哥倫布編碼的子集合，參數${\displaystyle M}$為${\displaystyle 2}$的整數次方，即${\displaystyle M=2^{R},R\in N}$。此種特例未必是所有格倫布編碼中的最佳編碼方式，但由於目前電腦為二進位運算，萊斯編碼能快速且有效地以二進位運算實現。

1.選擇參數${\displaystyle M}$

2.待編碼數值為${\displaystyle n}$，計算：

1. 商數: ${\displaystyle q=\lfloor {\frac {n}{m}}\rfloor ,}$
2. 餘數: ${\displaystyle r=n-q}$。

3.編碼

1. 商數編碼，對${\displaystyle q}$進行一进制編碼，得到${\displaystyle u}$。
2. 餘數編碼，對 ${\displaystyle r}$進行截斷二進制編碼，得到${\displaystyle b}$。
3. 合併，${\displaystyle c=(u,b)}$。

4.輸出${\displaystyle c=(u,b)}$

設M = 10. 則 ${\displaystyle b=\lceil \log _{2}(10)\rceil =4}$. ${\displaystyle 2^{b}-M=16-10=6}$

商數編碼 q 輸出位元 0 0 1 10 2 110 3 1110 4 11110 5 111110 6 1111110 ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle \vdots }$ N ${\displaystyle \underbrace {111\cdots 111} _{N}0}$

餘數編碼 r 偏移 二進位 輸出位元 0 0 0000 000 1 1 0001 001 2 2 0010 010 3 3 0011 011 4 4 0100 100 5 5 0101 101 6 12 1100 1100 7 13 1101 1101 8 14 1110 1110 9 15 1111 1111

選擇42作為編碼時，42會被拆成${\displaystyle q=4}$及${\displaystyle r=2}$，編碼為11110010，而商數編碼尾數必為0，能標示商數編碼位元的結束。

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• Witten, Ian Moffat, Alistair Bell, Timothy. "Managing Gigabytes: Compressing and Indexing Documents and Images." Second Edition. Morgan Kaufmann Publishers, San Francisco CA. 1999 ISBN 1-55860-570-3
• David Salomon. "Data Compression",ISBN 0-387-95045-1.
• S. Büttcher, C. L. A. Clarke, and G. V. Cormack. Information Retrieval: Implementing and Evaluating Search Engines. MIT Press, Cambridge MA, 2010.
• https://en.wikipedia.org/wiki/Golomb_coding