歐拉旋轉定理

假設單位向量 ${\displaystyle (x,\ y,\ z)\,\!}$ 是旋轉的瞬時固定軸，繞著這固定軸，旋轉微小角值 ${\displaystyle \Delta \theta \,\!}$ ，則取至 ${\displaystyle \Delta \theta \,\!}$ 的一次方，旋轉矩陣可以表達為：

${\displaystyle \Delta R={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{bmatrix}}\,\Delta \theta =\mathbf {I} +\mathbf {A} \,\Delta \theta \,\!}$ 。

繞著固定軸做一個 ${\displaystyle \theta \,\!}$ 角值的旋轉，可以被視為許多繞著同樣固定軸的接連不斷的微小旋轉，每一個小旋轉的角值為 ${\displaystyle \Delta \theta =\theta /N\,\!}$ 。讓 ${\displaystyle N\,\!}$ 趨向無窮大，則繞著固定軸 ${\displaystyle \theta \,\!}$ 角值的旋轉，可以表達為

${\displaystyle R=\lim _{N\to \infty }\ \left(\mathbf {1} +{\frac {\mathbf {A} \theta }{N}}\right)^{N}=e^{\mathbf {A} \theta }\,\!}$ 。

歐拉旋轉定理基要地闡明，所有的旋轉都能以這形式來表達。乘積 ${\displaystyle \mathbf {A} \theta \,\!}$ 是這個旋轉的生成元。用生成元來分析，而不用整個旋轉矩陣，通常是較簡易的方法。用生成元來分析的學術領域，稱為旋轉群的李代數。

根據歐拉旋轉定理，任何兩個坐標系的相對定向，可以由一組四個數字來設定；其中三個數字是方向餘弦，用來設定特徵向量（固定軸）；第四個數字是繞著固定軸旋轉的角值。這樣四個數字的一組稱為四元數。

如上所描述的四元數，並不介入複數。如果四元數被用來描述二個連續的旋轉，則必須使用由威廉·哈密顿提出的非交換四元數代數以複數來計算。

在航空學應用方面，通過四元數方法來計算旋轉，已經替代了方向餘弦方法，這是因為它能減少所需的工作，和它能減小捨入誤差。在電腦圖學裏，四元數與四元數之間，簡易執行插值的能力是很有價值的。