狀態轉移矩陣

狀態轉移矩陣用來找以下形式線性系統在状态空间下的解：

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t),\mathbf {x} (t_{0})=\mathbf {x} _{0}}$,

其中${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$為系統狀態，${\displaystyle \mathbf {u} (t)}$為輸入信號，而${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$為時間${\displaystyle t_{0}}$時的初始條件。利用狀態轉移矩陣${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )}$，其解如下[1][2]：

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,t_{0})\mathbf {x} (t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {B} (\tau )\mathbf {u} (\tau )d\tau }$

第一項為零輸入響應（zero-input response），第二項為零狀態響應（zero-state response）。

更廣義的狀態轉移矩陣可以用Peano-Baker級數解求得

${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )=\mathbf {I} +\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\,d\sigma _{1}+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\int _{\tau }^{\sigma _{2}}\mathbf {A} (\sigma _{3})\,d\sigma _{3}\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}+...}$

其中${\displaystyle \mathbf {I} }$為單位矩陣。此矩陣均勻收斂到一個存在而且唯一的解，而且是絕對收斂[2]。

狀態轉移矩陣${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )}$可以表示為下式

${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )\equiv \mathbf {U} (t)\mathbf {U} ^{-1}(\tau )}$

其中${\displaystyle \mathbf {U} (t)}$為基礎矩陣，滿足下式

${\displaystyle {\dot {\mathbf {U} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {U} (t)}$

狀態轉移矩陣是${\displaystyle n\times n}$的矩陣，是會映射到本身的线性映射。若${\displaystyle \mathbf {u} (t)=0}$，再給定任意時間${\displaystyle \tau }$下的狀態${\displaystyle \mathbf {x} (\tau )}$，另一個時間${\displaystyle t}$的狀態可由以下映射求得

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {x} (\tau )}$

狀態轉移矩陣恆滿足以下的關係：

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\Phi } (t,t_{0})}{\partial t}}=\mathbf {A} (t)\mathbf {\Phi } (t,t_{0})}$ and

${\displaystyle \mathbf {\Phi } (\tau ,\tau )=I}$對於所有的${\displaystyle \tau }$，其中${\displaystyle I}$為單位矩陣[3]。

${\displaystyle \mathbf {\Phi } }$也有以下的性質：

1.	${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t_{2},t_{1})\mathbf {\Phi } (t_{1},t_{0})=\mathbf {\Phi } (t_{2},t_{0})}$
2.	${\displaystyle \mathbf {\Phi } ^{-1}(t,\tau )=\mathbf {\Phi } (\tau ,t)}$
3.	${\displaystyle \mathbf {\Phi } ^{-1}(t,\tau )\mathbf {\Phi } (t,\tau )=I}$
4.	${\displaystyle {\frac {d\mathbf {\Phi } (t,t_{0})}{dt}}=\mathbf {A} (t)\mathbf {\Phi } (t,t_{0})}$

若系統是时不变系统，可以將${\displaystyle \mathbf {\Phi } }$定義為

${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,t_{0})=e^{\mathbf {A} (t-t_{0})}}$

在時變系統的例子中，可能有許多不同的函數滿足上述條件，而解和系統的結構有關。在分析時變系統的解之前，需要先確定其狀態轉移矩陣。

• Baake, M.; Schlaegel, U. . Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics 275. 2011: 155–159.
• Brogan, W.L. . Prentice Hall. 1991. ISBN 0-13-589763-7.

• Magnus展開