直紋曲面

一個直紋螺旋曲面

如果將直紋曲面看作一條連續運動的直線所經過的點, 那麼可將曲面表達為一個如下述形式的參數方程:

${\displaystyle S(t,u)=p(t)+ur(t)\ }$

其中${\displaystyle S(t,u)}$為面上的任意點，${\displaystyle p(t)}$為沿著面上一曲線移動之點，${\displaystyle r(t)}$為隨${\displaystyle t}$變動之單位向量。舉例來說，如果我們用下列式子

${\displaystyle {\begin{aligned}p(t)&=(\cos(2t),\sin(2t),0)\\r(t)&=(\cos t\cos 2t,\cos t\sin 2t,\sin t)\end{aligned}}}$

則可得莫比乌斯带。另一種參數表示法為：

${\displaystyle S(t,u)=(1-u)p(t)+uq(t)}$

其中${\displaystyle p}$及${\displaystyle q}$為兩條處於面上之不相交曲線。當 ${\displaystyle p(t)}$ 及${\displaystyle q(t)}$以定速沿著二歪斜線移動時，${\displaystyle S}$為一雙曲拋物面或是單葉雙曲面。

可展曲面即為高斯曲率處處为零的曲面。另一種常見的表述方法是，一個可展曲面的每一部分都可以不經壓縮或者拉伸而展開成為一個平面。三維歐氏空間中的完備可展曲面一定是直紋曲面。然而，相同前提下的直紋曲面不一定是可展曲面，單葉雙曲面便是一例。四維歐氏空間存在不是直紋曲面的可展曲面。