累積量生成函數

隨機變數的累積量生成函數κ_nX是定義為：對動差生成函數（動差母函數）取自然對數的函數，如果符合定義，將如下所示：

${\displaystyle g(t)=\log(E(e^{tX}))=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=\mu t+\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\cdots }$。

將累積量生成函數g(t)對t等於零之處微分

${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa _{1}&=\mu =g'(0),\\\kappa _{2}&=\sigma ^{2}=g''(0),\\&{}\ \ \vdots \\\kappa _{n}&=g^{(n)}(0).\end{aligned}}}$

累積量生成函數與機率分佈的動差值有很強的關聯性。假如隨機變數X存在期望值μ = E(X)及變異數σ² = E((X − μ)²)，則累積量生成函數g(t)的一階與二階微分剛好是上述數值：μ = κ₁及σ² = κ₂。第c個累積量表達的方式為

${\displaystyle \kappa _{n}=\langle X^{n}\rangle _{c}.\,}$

使用累積量生成函數優於動差值的情況在於獨立變數X和Y，

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{X+Y}(t)&=\log(E(e^{t\cdot (X+Y)}))=\log(E(e^{tX})\cdot E(e^{tY}))\\&=\log(E(e^{tX}))+\log(E(e^{tY}))=g_{X}(t)+g_{Y}(t).\end{aligned}}}$

如此一來相加累積量的合可表達成累積量的相加，也就是具有加成性。

一個分佈的累積量κ_n可以使用Edgeworth series來近似。

有些作者[1][2]偏好定義累積量生成函數為對特徵函數取自然對數，或者有人稱為第二特徵函數，[3][4]

${\displaystyle h(t)=\log(E(e^{itX}))=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}{\frac {(it)^{n}}{n!}}=\mu it-\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\cdots .\,}$

使用此函數的好處在於，即便可能隨機變數X是一大變量仍被完整定義。儘管他的累積量生成函數或者是動差母函數是存在的，但在這種情況下，通常不允許被展開成累積量生成函數或者是動差母函數而表達成線性級數數列的模式。Cauchy distribution（也稱作Lorentzian）和stable distribution（與「Lévy distribution」有關）是生成函數無法被展開的兩個例子。