群作用

若${\displaystyle \mathrm {G} }$为一个群而${\displaystyle \mathrm {X} }$为一个集合，则${\displaystyle \mathrm {G} }$在${\displaystyle \mathrm {X} }$上的一个(左) 群作用是一个二元函数

${\displaystyle \mathrm {G} \times \mathrm {X} \rightarrow \mathrm {X} }$

(其中${\displaystyle g\in \mathrm {G} }$和${\displaystyle x\in \mathrm {X} }$的像写作${\displaystyle g\cdot x}$)，满足如下两条公理：

1. ${\displaystyle (gh)\cdot x=g\cdot (h\cdot x)}$ 对于所有 ${\displaystyle g,h\in \mathrm {G} }$ 和 ${\displaystyle x\in \mathrm {X} }$成立
2. ${\displaystyle e\cdot x=x}$对于每个${\displaystyle x\in \mathrm {X} }$成立 (${\displaystyle e}$代表${\displaystyle \mathrm {G} }$的么元)

从这两条公理，可以得出对于每个${\displaystyle g\in \mathrm {G} }$，映射${\displaystyle x\in \mathrm {X} }$到${\displaystyle g\cdot x}$的函数是一个双射，从${\displaystyle \mathrm {X} }$映射到${\displaystyle \mathrm {X} }$。因此，也可以将${\displaystyle \mathrm {G} }$在${\displaystyle \mathrm {X} }$上的群作用定义为从${\displaystyle \mathrm {G} }$到对称群${\displaystyle S_{X}}$的群同态。

若群作用${\displaystyle \mathrm {G} \times \mathrm {X} \rightarrow \mathrm {X} }$给定，我们称“G作用于集合X”或者X是一个G-集合。

完全一样地，可以定义一个G在X上的右群作用为函数${\displaystyle \mathrm {X} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {X} }$，满足以下公理：

1. ${\displaystyle x\cdot (gh)=(x\cdot g)\cdot h}$
2. ${\displaystyle x\cdot e=x}$

注意左和右作用的区别仅在于象gh这样的积在x上作用的次序。对于左作用h先作用然后是g，而对于右作用g先作用然后是h。从一个右作用可以构造一个左作用，只要和群上的逆操作复合就可以了。如果r为一右作用，则

${\displaystyle l:G\times M\to M:(g,m)\mapsto r(m,g^{-1})}$

是一左作用，因为

${\displaystyle l(gh,m)=r(m,(gh)^{-1})=r(m,h^{-1}g^{-1})=r(r(m,h^{-1}),g^{-1})=r(l(h,m),g^{-1})=l(g,l(h,m))\,}$

而

${\displaystyle l(e,m)=r(m,e^{-1})=r(m,e)=m\,}$

所以在这里，我们只考虑左群作用，因为右作用可以相应推理。

群G作用在集合X上的作用稱為:

• 遞移性(Transitive):

  如果X是一個非空集合，對於每對數對 x,y ${\displaystyle \in }$ X，則存在一個g${\displaystyle \in }$G，使得${\displaystyle g\cdot x=y}$，我們就稱此作用為遞移性。

• 忠實性(Faithful ):

  如果群G嵌入(embbeding)到X的置換群中，我們就稱此作用為忠實的。換言之，就是則群G到X的置換群之中為單射。

• 自由性(Free):

  如果給定 ${\displaystyle g,h\in G}$，存在${\displaystyle x\in X}$，則有著${\displaystyle g{\cdot }x=h{\cdot }x{\;\;}{\Rightarrow }\;\;\;g=h}$，則稱為此作用為自由性。

• 正則的(Regular):

  同時具有自由性以及遞移性的作用稱為正則的。

• n-遞移性(n-transitive) :

  如果集合X 至少有 n 個元素, 對所有不同的元素x₁, ..., x_n 和所有不同的y₁, ..., y_n, 存在一個 g 在群G 使得 g⋅x_k = y_k 對所有 1 ≤ k ≤ n ，我們就稱其為n-遞移性。

• 主要的(Primitive ):

  如果遞移性作用滿足只有trivial區塊(block)，那我們稱此作用為主要的。可以證明n-遞移性 皆為主要的。

軌道

若${\displaystyle x}$是${\displaystyle \mathrm {X} }$的一個元素，且群${\displaystyle \mathrm {G} }$在${\displaystyle \mathrm {X} }$上有著一個作用，那麼${\displaystyle x}$的軌道${\displaystyle \mathrm {G} _{x}}$就是指以下列方式定義的${\displaystyle \mathrm {X} }$的子集：

${\displaystyle \mathrm {G} _{x}=\{g\cdot x|g\in \mathrm {G} \}}$

${\displaystyle \mathrm {X} }$的兩個軌道，要不彼此相等，要不然其交集就是空集合。這是因為假如兩個軌道${\displaystyle \mathrm {G} _{x}}$和${\displaystyle \mathrm {G} _{y}}$有一個共通元素${\displaystyle a}$，那麼就可以找到兩個${\displaystyle \mathrm {G} }$中的元素${\displaystyle m}$和${\displaystyle n}$，使得${\displaystyle a=m\cdot x\in \mathrm {G} _{x}}$、${\displaystyle a=n\cdot y\in \mathrm {G} _{y}}$，同時有${\displaystyle x=m^{-1}\cdot a=m^{-1}n\cdot y\in \mathrm {G} _{y}}$，反之亦可推出${\displaystyle y=n^{-1}\cdot a=n^{-1}m\cdot x\in \mathrm {G} _{x}}$，而這使得這兩個集合所有的元素都相等。

一個軌道的例子是陪集，假若${\displaystyle \mathrm {H} }$是${\displaystyle \mathrm {G} }$的一個子集，且定義${\displaystyle \mathrm {G} }$中元素的慣常運算規則為${\displaystyle \mathrm {H} }$在${\displaystyle \mathrm {G} }$上的一個作用，那麼${\displaystyle \mathrm {H} }$的陪集${\displaystyle \mathrm {aH} }$(${\displaystyle a\in \mathrm {G} }$)就是${\displaystyle a}$的軌道。

不變子集

若S是X的一個子集，群G作用在X上( X 被稱作G-set)，對於群G中的所有元素 g，以及所有S中的元素 x，有著 ${\displaystyle g\cdot x\in S}$，

則我們會說 S在G的作用下是封閉的，或是說，S在G作用下是不變的

不動點與穩定子群

若${\displaystyle x}$是${\displaystyle \mathrm {X} }$的一個元素，對於群${\displaystyle \mathrm {G} }$中的所有元素${\displaystyle g}$而言，都有${\displaystyle g\cdot x=x}$，那麼就稱${\displaystyle x}$是${\displaystyle \mathrm {G} }$-不變的（${\displaystyle \mathrm {G} }$-invariant）。

另外若${\displaystyle x}$是${\displaystyle \mathrm {X} }$的一個元素，則所有使得${\displaystyle g\cdot x=x}$的${\displaystyle \mathrm {G} }$中的元素${\displaystyle g}$構成的集合又稱${\displaystyle \mathrm {G} }$對於${\displaystyle x}$的穩定子群（stabilizer subgroup of ${\displaystyle \mathrm {G} }$ with respect to ${\displaystyle x}$），一般常常將之記作${\displaystyle \mathrm {Gx} }$(注意：不要將之與上面軌道的符號混淆)。

${\displaystyle \mathrm {Gx} }$是${\displaystyle \mathrm {G} }$的一個子群，因為根據定義${\displaystyle e\cdot x=x\in \mathrm {Gx} }$，因此${\displaystyle \mathrm {G} }$的單位元${\displaystyle e}$屬於${\displaystyle \mathrm {Gx} }$，且假若${\displaystyle m\in \mathrm {Gx} }$，那麼${\displaystyle m}$的逆元${\displaystyle m^{-1}}$也是${\displaystyle \mathrm {Gx} }$的元素，因為${\displaystyle x=e\cdot x=m^{-1}m\cdot x=m^{-1}\cdot x}$。

軌道-穩定點定理 與Burnside's 引理

考慮一個映射${\displaystyle f:G\cdot x\longrightarrow G/G_{x}}$ 可以證明此映射是一個雙射的函數，而這個映射的結論就是所謂的 軌道-穩定點定理 ${\displaystyle |G\cdot x|=[G:G_{x}]}$

而一個跟軌道-穩定點定理相似的結果就是Burnside's 引理，${\displaystyle |X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|}$

詳情請看 西羅定理

• 任意群G在任意集合X上的平凡的群作用定义为 g⋅x = x 对任意g属于G以及任意x属于X；换句话说，每个群元素对应 X上的恒等置换。[2]

1. Stephen Lovett, Abstract Algebra: Structures and Applications. ISBN 1482248905. 缺少或|title=为空 (帮助)
2. Eie & Chang. . 2010: 145.