芝诺悖论

理論說得頭頭是道，但為何實際卻不是如此？原因見下。

不妨令阿基里斯步行的速度為每秒10m，烏龜爬行的速度為每秒0.1m， 並且在比賽之前，阿基里斯讓烏龜先爬999m，在這種條件下，阿基里斯追趕烏龜所用的時間為：

 999 ÷ 10 = 99.9秒
 (99.9 × 0.1) ÷ 10 = 0.999秒
 (0.999 × 0.1) ÷ 10 = 0.00999秒
 · · · · · ·

這些數字，按其先後排列，可以構成一個無限序列：

 99.9, 0.999, 0.00999, · · ·
 
 求其和：S = 99.9/(1 −1/100) = 100.909090...秒

所以其實阿基里斯只要跑101秒，即可超越烏龜。
換個角度說，阿基里斯之所以追不上烏龜，原因在題目的背面－－小前提「由於追趕者首先應該達到被追者出發之點，此時被追者已經往前走了一段距離。」已經限制了阿基里斯追趕的距離。
因此會得到無限的時間序列。

追乌龟亦涉及到极限是否存在的問題。譬如说，阿基里斯的速度改為10m/s，乌龟的速度是1m/s，乌龟原先在阿基里斯前面9m。進行上述步驟後，總共所花的時間應表示為${\displaystyle t=0.9+0.09+0.009+...=0.999...}$。

其一，關於极限這个无限过程的意義，涉及到实无限與潜无限（potential infinity）的討論。潜无限的性質是无限过程无法完成，故上述級數雖然能无限逼近1，但不能說是等於1──故沒有一個時間點（若有，必須是1）能代表乌龟被追上的時間。在潜无限的框架下，可以假设空间無法无限分割，如此一來此悖论就不存在了。但实无限的理論是，无限过程可以完成，即逼近的過程與其极限等價，故阿基里斯可以追上烏龜。現在的实数，极限，微积分都建立在实无限上。对潜无限来说，实数，极限等都不成立，只能无限逼近。

其二，關於要如何找到該無限過程的極限，歐拉曾提出「${\displaystyle 0.9999999999\dots =1}$」之證明如下：

令${\displaystyle S=0.99999999999\dots }$

則${\displaystyle 10S=9.9999999999\dots }$

兩式相減可得：

${\displaystyle {\begin{aligned}10S-S&=9.9999999999\dots -0.99999999999\dots \\9S&=9\\S&=1\end{aligned}}}$

故${\displaystyle 0.99999999999\dots =1}$

歐拉一生中曾多次在其理論中進行這類極限的運算，然而他未能解釋極限的存在性與加減乘除等運算，可謂有著邏輯上的漏洞。而近代數學的極限、實數等概念正能填其邏輯漏洞。