重心坐标

给定三角形平面一点P，我们将这一点的面积坐标${\displaystyle \lambda _{1}\,}$，${\displaystyle \lambda _{2}\,}$和${\displaystyle \lambda _{3}\,}$用笛卡尔坐标表示出来。

利用笛卡尔坐标中的三角形面积公式：

${\displaystyle S(ABC)={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}1&x_{a}&y_{a}\\1&x_{b}&y_{b}\\1&x_{c}&y_{c}\\\end{vmatrix}}}$

我们可得：

${\displaystyle \lambda _{1}=S(PBC)/S(ABC)={\begin{vmatrix}1&x_{p}&y_{p}\\1&x_{b}&y_{b}\\1&x_{c}&y_{c}\\\end{vmatrix}}/{\begin{vmatrix}1&x_{a}&y_{a}\\1&x_{b}&y_{b}\\1&x_{c}&y_{c}\\\end{vmatrix}}}$

类似地有${\displaystyle \lambda _{2},\lambda _{3}}$，注意ABC构成一个三角形，上式的分母不可能为0。

反过来则简单得多：

${\displaystyle {\textbf {p}}=\lambda _{1}{\textbf {a}}+\lambda _{2}{\textbf {b}}+\lambda _{3}{\textbf {c}},}$故

${\displaystyle x_{p}=\lambda _{1}x_{a}+\lambda _{2}x_{b}+\lambda _{3}x_{c},}$和

${\displaystyle y_{p}=\lambda _{1}y_{a}+\lambda _{2}y_{b}+\lambda _{3}y_{c}.}$

因重心坐标是笛卡尔坐标的一个线性变换，从而它们在边和三角形区域之间的变化是线性的。如果点在三角形内部，那么所有重心坐标属于开区间${\displaystyle (0,1)}$；如果一点在三角形的边上，至少有一个面积坐标${\displaystyle \lambda _{1...3}}$为0，其余分量位于闭区间${\displaystyle [0,1]}$。如果有某个坐标小于0，则位于三角形外部，具体分布可参考上图。 （图示中，B和C顶端的坐标正副反了，B的应该是（-,-,+），C的是（-,+,-）

面积坐标在涉及到三角形子区域的工程学问题时特别有用，经常可以化简解析积分求值，高斯积分法表也常以面积坐标的形式给出。

考虑由顶点${\displaystyle {\textbf {v}}_{1}\,}$, ${\displaystyle {\textbf {v}}_{2}\,}$和${\displaystyle {\textbf {v}}_{3}\,}$定义的三角形T，任何在三角形内部的点${\displaystyle {\textbf {p}}}$都能写成顶点的加权和：

${\displaystyle {\textbf {p}}=\lambda _{1}{\textbf {v}}_{1}+\lambda _{2}{\textbf {v}}_{2}+\lambda _{3}{\textbf {v}}_{3},}$

这里${\displaystyle \lambda _{1}\,}$、${\displaystyle \lambda _{2}\,}$和${\displaystyle \lambda _{3}\,}$是面积坐标。注意到${\displaystyle \lambda _{3}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}\,}$。从而，函数${\displaystyle f}$在T上的积分为：

${\displaystyle \int _{T}f({\textbf {p}})\ ds=2S\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-\lambda _{2}}f(\lambda _{1}{\textbf {v}}_{1}+\lambda _{2}{\textbf {v}}_{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}){\textbf {v}}_{3})\ d\lambda _{1}\ d\lambda _{2}\,}$

这里S是三角形T的面积。注意上式具有线性插值的形式。

重心坐标提供了一种非结构网格上函数插值的方法，假设函数值在所有网格的顶点上已知。如果${\displaystyle 0\leq \lambda _{i}\leq 1\;\forall \;i\in {1,2,3}}$，则点${\displaystyle {\textbf {p}}}$位于三角形内部或边界上。我们取${\displaystyle f}$的插值为

${\displaystyle f({\textbf {p}})=\lambda _{1}f({\textbf {v}}_{1})+\lambda _{2}f({\textbf {v}}_{2})+\lambda _{3}f({\textbf {v}}_{3}),}$

这个线性插值是自动正规的因为${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1}$。