量子閘

阿達馬閘是只對一個一個量子位元進行操作的閘。這個閘將基本狀態${\displaystyle |0\rangle }$變成${\displaystyle {\frac {|0\rangle +|1\rangle }{\sqrt {2}}}}$，並且將${\displaystyle |1\rangle }$變成${\displaystyle {\frac {|0\rangle -|1\rangle }{\sqrt {2}}}}$。這個閘可以以阿達馬矩陣表示：

Graphical representation of Hadamard gate

${\displaystyle H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}}$

因為矩陣的每一列正交，${\displaystyle HH^{*}=I}$，其中I表示单位矩阵，因此H是一個么正矩陣。

泡利-X閘操作一個量子位元。這個閘相當於經典的邏輯反閘。它將${\displaystyle |0\rangle }$換成${\displaystyle |1\rangle }$並且${\displaystyle |1\rangle }$換成${\displaystyle |0\rangle }$。這個閘可以以一個泡利X矩陣表示：

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}}$

泡利-Y閘操作單一個量子位元。這個閘可以以一個泡利Y矩陣表示：

${\displaystyle Y={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}}$

泡利-Z閘操作單一個量子位元。這個閘保留基本狀態${\displaystyle |0\rangle }$不變並且將${\displaystyle |1\rangle }$換成${\displaystyle -|1\rangle }$。這個閘可以以一個泡利Z矩陣表示：

${\displaystyle Z={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$

這是一系列操作單一量子位元的閘，它保留基本狀態${\displaystyle |0\rangle }$並且將${\displaystyle |1\rangle }$換成${\displaystyle e^{i\theta }|1\rangle }$。

${\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i\theta }\end{bmatrix}}}$

這裡的${\displaystyle \theta }$代表相位位移。一些常見的例子像是${\displaystyle {\frac {\pi }{8}}}$閘的${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{4}}}$，相位閘的的${\displaystyle \theta }$則等於${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$而泡利-Z閘的${\displaystyle \theta =\pi }$。

互換閘操作兩個量子位元，可以用以下這個矩陣表示：

${\displaystyle {\mbox{SWAP}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

Circuit representation of controlled NOT gate

受控閘操作兩個以上的量子位元，其中一個或多個量子位元視為某一些操作的控制位元。舉例來說，受控反閘（）操作兩個量子位元，第二個量子位元只有在第一個量子位元為${\displaystyle |1\rangle }$的時候進行NOT操作，否則就保持不變。這個閘可以以以下的矩陣表示：

${\displaystyle {\mbox{CNOT}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}}$

更普遍地說，如果U是一個操作單一量子位元的閘，以以下這個矩陣表示：

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}x_{00}&x_{01}\\x_{10}&x_{11}\end{bmatrix}}}$

則受控-U閘就是操作兩個量子位元的量子閘，以第一個量子位元作為控制。操作基本狀態如下：

Graphical representation of controlled-U gate

${\displaystyle |00\rangle \mapsto |00\rangle }$

${\displaystyle |01\rangle \mapsto |01\rangle }$

${\displaystyle |10\rangle \mapsto |1\rangle U|0\rangle =|1\rangle \left(x_{00}|0\rangle +x_{10}|1\rangle \right)}$

${\displaystyle |11\rangle \mapsto |1\rangle U|1\rangle =|1\rangle \left(x_{01}|0\rangle +x_{11}|1\rangle \right)}$

受控-U閘可以以矩陣代表如下：

${\displaystyle {\mbox{C}}(U)={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&x_{00}&x_{01}\\0&0&x_{10}&x_{11}\end{bmatrix}}}$

Circuit representation of Toffoli gate

Toffoli閘是一個操作三個量子位元的，對傳統運算是完備的閘。量子的Toffoli閘是類同的閘，以三個量子位元定義。如果前兩個量子位元是${\displaystyle |1\rangle }$，則對第三個量子位元進行泡利-X運算，反之則不做操作。這是一個受控閘的範例。既然這個閘是一個傳統邏輯閘的量子類比，因此它可以用一個真值表來完整表示如下：

INPUT			OUTPUT
0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	0	1
0	1	0	0	1	0
0	1	1	0	1	1
1	0	0	1	0	0
1	0	1	1	0	1
1	1	0	1	1	1
1	1	1	1	1	0

也可以將這個閘以像是${\displaystyle |a,b,c\rangle }$ to ${\displaystyle |a,b,c\oplus ab\rangle }$的操作形容。

• M. Nielsen and I. Chuang，Quantum Computation and Quantum Information，Cambridge University Press，2000