隨機微分方程

隨機微分方程是微分方程的擴展。一般微分方程的對象為可導函數，並以其建立等式。然而，隨機過程函數本身的導數不可定義，所以一般解微分方程的概念不適用於隨機微分方程。隨機微分方程多用於對一些多样化现象进行建模，比如不停变动的股票价格，部分物理现象如热扰动等。

隨機微分方程的概念最早以布朗運動的形式，由阿爾伯特·愛因斯坦在《热的分子运动论所要求的静液体中悬浮粒子的运动》論文中提出。这项研究隨後由保羅·朗之萬继续。此後伊藤清和鲁斯兰斯特拉托诺维奇完善了隨機微分方程的數學基礎，使得這門領域更加的科學嚴謹。

一般而言，隨機微分方程的解是一隨機過程函數，但解方程需要先定義隨機過程函數的微分。最常見的定義為根據伊藤清所創，假設B為布朗運動，則對於某函數H，作以下定積分之定義：

${\displaystyle \int _{0}^{t}H\,dB=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{t_{i-1},t_{i}\in \pi _{n}}H_{t_{i-1}}(B_{t_{i}}-B_{t_{i-1}}).}$

此稱為伊藤積分。伊藤式的隨機微分方程常用於在金融數學中。