Kalman–Yakubovich–Popov引理

Kalman–Yakubovich–Popov引理（Kalman–Yakubovich–Popov lemma）是系統分析及控制理论的結果，其中提到：給定一數 $\gamma >0$ ，二個n維向量B, C，及n x n的赫維茲穩定矩陣 A（所有特徵值的實部都為負值），若 $(A,B)$ 具有完全可控制性，則滿足下式的對稱矩陣P和向量Q

A^{T}P+PA=-QQ^{T}

PB-C={\sqrt {\gamma }}Q

存在的充份必要條件是

\gamma +2Re[C^{T}(j\omega I-A)^{-1}B]\geq 0

而且，集合 $\{x:x^{T}Px=0\}$ 是 $(C,A)$ 的不可觀測子空間。

此引理可以視為是穩定性理論李亞普諾夫方程的推廣。建構了由狀態空間A, B, C建構的线性矩阵不等式以及其頻域條件的關係。

Kalman–Popov–Yakubovich引理最早是在1962年由Vladimir Andreevich Yakubovich寫出且證明[1]，當時列的是嚴格的頻率不等式。允許等於的不等式是由鲁道夫·卡尔曼在1963年提出[2]。在該文中也建立了Lur'e方程可解性的關係。兩篇都是針對純量輸入系統。其控制維度的限制是在1964年被Gantmakher和Yakubovich放寬的[3]，而Vasile M. Popov也獨立得到相同結論[4]。在[5]中有針對此一主題的廣泛探討。

多變數Kalman–Yakubovich–Popov引理

給定 $A\in \mathbb {R} ^{n\times n},B\in \mathbb {R} ^{n\times m},M=M^{T}\in \mathbb {R} ^{(n+m)\times (n+m)}$ ，其中 $\det(j\omega I-A)\neq 0$ 針對所有 $\omega \in \mathbb {R}$ ，且 $(A,B)$ 有可控制性，則以下的敘述是等價的：

針對所有 $\omega \in \mathbb {R} \cup \{\infty \}$
$\left[{\begin{matrix}(j\omega I-A)^{-1}B\\I\end{matrix}}\right]^{*}M\left[{\begin{matrix}(j\omega I-A)^{-1}B\\I\end{matrix}}\right]\leq 0$
存在一矩陣 $P\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ 使得 $P=P^{T}$ 且
$M+\left[{\begin{matrix}A^{T}P+PA&PB\\B^{T}P&0\end{matrix}}\right]\leq 0.$

即使 $(A,B)$ 不具有可控制性，對應上式的嚴格不等式仍成立[6]。

參考資料

Yakubovich, Vladimir Andreevich. . Dokl. Akad. Nauk SSSR. 1962, 143 (6): 1304–1307.
Kalman, Rudolf E. (PDF). Proceedings of the National Academy of Sciences. 1963, 49 (2): 201–205 [2019-01-04]. PMC 299777. doi:10.1073/pnas.49.2.201. （原始内容存档 (PDF)于2015-09-24）.
Gantmakher, F.R. and Yakubovich, V.A.,. . Moscow: Nauka. 1964.
Popov, Vasile M. . Rev. Roumaine Sci. Tech. 1964, 9 (4): 629–890.
Gusev S. V. and Likhtarnikov A. L. . Automation and Remote Control. 2006, 67 (11): 1768–1810.
"Anders Rantzer". . Systems & Control Letters. 1996, 28 (1): 7–10. doi:10.1016/0167-6911(95)00063-1.

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[1] Yakubovich, Vladimir Andreevich. . Dokl. Akad. Nauk SSSR. 1962, 143 (6): 1304–1307.

[Kalman1963-2] Kalman, Rudolf E. (PDF). Proceedings of the National Academy of Sciences. 1963, 49 (2): 201–205 [2019-01-04]. PMC 299777. doi:10.1073/pnas.49.2.201. （原始内容存档 (PDF)于2015-09-24）.

[3] Gantmakher, F.R. and Yakubovich, V.A.,. . Moscow: Nauka. 1964.

[4] Popov, Vasile M. . Rev. Roumaine Sci. Tech. 1964, 9 (4): 629–890.

[5] Gusev S. V. and Likhtarnikov A. L. . Automation and Remote Control. 2006, 67 (11): 1768–1810.

[Rantzer1996-6] "Anders Rantzer". . Systems & Control Letters. 1996, 28 (1): 7–10. doi:10.1016/0167-6911(95)00063-1.