三线坐标

内心有三线1:1:1，这就是说，从三角形ABC的内心到边BC、CA、AB的有向距离和实际距离有序三元组（r, r, r）成比例，这里r是三角形ABC内切圆的半径。注意到记号x:y:z用比例冒号区分三线和实际有向距离。实际距离有序三元组（kx, ky, kz），能从比例x : y : z得到，利用面积关系不难算得

${\displaystyle k={\frac {2\sigma }{ax+by+cz}},}$

这里a, b, c分别是边长BC、CA、AB，σ = ABC的面积。（“逗号记法”应该避免使用。因为记号（x, y, z）意味着是一个有序三元组，不允许（x, y, z） =（2x, 2y, 2z）之类运算；然而“比号记法”允许x : y : z = 2x : 2y : 2z。）

设A、B和C不仅表示三角形的顶点，也是在相应顶点的角。一些熟知点的三线如下：

• A = 1 : 0 : 0
• B = 0 : 1 : 0
• C = 0 : 0 : 1
• 内心 = 1 : 1 : 1
• A-旁心 = −1 : 1 : 1
• B-旁心 = 1 : −1 : 1
• C-旁心 = 1 : 1 : −1
• 外心 = cos A : cos B : cos C
• 垂心 = sec A : sec B : sec C
• 九点圆圆心 = cos（B − C）: cos（C − A）: cos（A − B）
• 重心 = bc : ca : ab = 1/a : 1/b : 1/c = csc A : csc B : csc C
• 类似重心 = a : b : c = sin A : sin B : sin C

注意到，内心一般不是重心，重心有重心坐标1:1:1（它们和实际有向面积BGC、CGA、AGB成比例，这里G = 重心）。

利用三线坐标可将许多代数方法运用于三角形几何。比如，三点

P = p : q : r

U = u : v : w

X = x : y : z

是共线的，当且仅当行列式：

${\displaystyle D={\begin{bmatrix}p&q&r\\u&v&w\\x&y&z\end{bmatrix}}}$

等于0。这性质的对偶是三条直线

pα + qβ + rγ = 0

uα + vβ + wγ = 0

xα + yβ + zγ = 0

交于一点（若无穷远点，即平行）当且仅当D = 0。

另外可算得三角形PUX的面积= KD，这里K = abc/8σ²，如果PUX和ABC 定向相同，定向相反则K = - abc/8σ²。

许多三次曲线用三线容易表示。比如，中枢自等共轭三次曲线Z（U,P），作为点X的轨迹使得X的P-等共轭点位于直线UX上，由行列式方程

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y&z\\qryz&rpzx&pqxy\\u&v&w\end{bmatrix}}=0}$

确定。一些有名的三次曲线Z（U,P）：

Thomson三次曲线：Z（X（2）,X (1))，这里X (2) = 重心，X (1) = 内心

Feuerbach三次曲线：Z（X（5）,X (1))，这里X (5) = 费尔巴哈点

Darboux三次曲线：Z（X（20）,X (1))，这里X (20) = De Longchamps点

Neuberg三次曲线：Z（X（30）,X (1))，这里X (30) = 欧拉无穷远点

一点具有三线α : β : γ，则重心坐标为aα : bβ : cγ，这里a, b, c是三角形三条边长。相反地，重心坐标为α : β : γ的点有三线α/a : β/b : γ/c。

三线坐标和2维笛卡尔坐标之间存在转换公式。给定一个参考三角形ABC，将顶点B的位置表示成一个笛卡尔坐标的有序组，将其代数地写成一个以顶点C为起点的向量a。类似地定义顶点A为b。然后任何点P关于参考三角形ABC能定义一个2维笛卡尔坐标系，写成向量p = αa + βb。如果点P有三线坐标x:y:z，那么变换公式是：

${\displaystyle x:y:z={\frac {\beta }{a}}:{\frac {\alpha }{b}}:{\frac {1-\alpha -\beta }{c}},}$

反过来，

${\displaystyle \alpha ={\frac {by}{ax+by+cz}},\,\beta ={\frac {ax}{ax+by+cz}}.}$

• 三线坐标页面存档备份，存于Mathworld
• 三角形特殊点百科- ETC Clark Kimberling；包含三角形中3200多个特殊点的三线坐标（以及重心坐标）。