乌雷松引理

乌雷松引理说明，X是一个正规拓扑空间，当且仅当只要A和B是X的不交闭子集，就存在一个从X到单位区间[0, 1]的连续函数：

f : X → [0, 1]，

使得对于所有A内的a，都有f(a) = 0，而对于所有B内的b，都有f(b) = 1。

任何满足这个性质的函数f都称为乌雷松函数。

注意在以上的表述中，我们并不需要f(x) ≠ 0和≠ 1，对于A和B外部的x。这只在完备正规空间中才有可能。

乌雷松引理导致了其它拓扑空间，例如“吉洪诺夫性质”和“完全豪斯多夫空间”的表述。例如，这个引理的一个推论是，正规的T₁空间是吉洪诺夫空间。

乌雷松的洋葱函数。

对于每一个二进分数r ∈ (0,1)，我们将构造X的一个开子集U(r)，使得：

1. U(r)包含A，且对于所有的r，U(r)都与B不交；
2. 对于r < s，U(r)的闭包位于U(s)内。

有了这些集合以后，我们便定义f(x) = inf { r : x ∈ U(r) }对于所有的x ∈ X。利用二进有理数是稠密的事实，便不难证明f是连续的，且具有性质f(A) ⊆ {0}和f(B) ⊆ {1}。

为了构造集合U(r)，我们还需要做更多事情：我们构造集合U(r)和V(r)，使得：

• 对于所有的r，都有A ⊆ U(r)且B ⊆ V(r)；
• 对于所有的r，U(r)和V(r)都是开集和不交的；
• 对于r < s，V(s)包含在U(r)的补集之内，而V(r)的补集包含在U(s)之内。

由于V(r)的补集是闭集，且含有U(r)，因此从最后一个条件可以推出上面的条件(2)。

我们使用数学归纳法。由于X是正规的，我们便可以找出两个不交的开集U(1/2)和V(1/2)，分别含有A和B。现在假设n≥1，且集合U(a/2ⁿ)和V(a/2ⁿ)对于a = 1,...,2ⁿ-1已经构造了。由于X是正规的，我们便可以找出两个不交的开集，分别含有V(a/2ⁿ)的补集和U((a+1)/2ⁿ)的补集。称这两个开集为U((2a+1)/2ⁿ⁺¹)和V((2a+1)/2ⁿ⁺¹)，并验证以上的三个条件成立。

• PlanetMath上proof of Urysohn's lemma的資料。