闭集
性质
闭集包含其自身的边界。换句话说,这个概念基于“外部”的概念,如果你在一个闭集的外部,你稍微“抖动”一下仍在这个集合的外部。注意,这个概念在边界为空的时候还是真的,比如在有理数的度量空间中,对于平方小于2的数的集合。
任意多个闭集的交集是闭集;有限多个闭集的并集是闭集。特别的,空集和全空间是闭集。
交集的性质也被用来定义空间上的集合的闭包,即的闭合子集中最小的的父集。特别的,的闭包可以通过所有的其闭合父集的交集来构造。
例子
细说
上述闭集的定义是根据开集而来得,这一概念在拓扑空间上是有意义的,同时也适用于含有拓扑结构的其他空间,如度量空间、可微流形、一致空间和规格空间。
另一种对闭集的定义是通过序列。拓扑空间上的子集是闭合的,当且仅当的元素组成的任意序列的任意极限仍然属于。这一表述的价值在于,它可以用在收敛空间的定义中,而收敛空间比拓扑空间更普通。注意,这一表述仍然依赖背景空间,因为序列是否在中收敛依赖于中的点。
集合是否是闭合的通常取决于它所在的空间。然而在某种意义上,紧致的豪斯多夫空间是“绝对闭合的”。精确地说,将紧致的豪斯多夫空间放在任意豪斯多夫空间中,总是的一个闭合子集;这和“背景空间”没有关系。实际上,这个性质刻画了紧致的豪斯多夫空间。
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