互能定理

设有两个电流源，${\displaystyle \mathbf {J} _{1}=\mathbf {J} _{1}(t)}$，${\displaystyle \mathbf {J} _{2}=\mathbf {J} _{2}(t)}$,它们的 电磁场为${\displaystyle \mathbf {E} _{1}=\mathbf {E} _{1}(t)}$，${\displaystyle \mathbf {H} _{1}=\mathbf {H} _{1}(t)}$ 和 ${\displaystyle \mathbf {E} _{2}=\mathbf {E} _{2}(t)}$，${\displaystyle \mathbf {H} _{2}=\mathbf {H} _{2}(t)}$。 时域电磁场互能定理可以表示为

${\displaystyle -\int _{t=-\infty }^{\infty }}$${\displaystyle \oiint }$${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$${\displaystyle (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}+\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1})\cdot d\mathbf {A} dt}$

${\displaystyle =\int _{t=-\infty }^{\infty }\int _{V}(\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}+\mathbf {E} _{2}\cdot \mathbf {J} _{1})dVdt}$

如果两个电磁场${\displaystyle \mathbf {E} _{1}=\mathbf {E} _{1}(t)}$，${\displaystyle \mathbf {H} _{1}=\mathbf {H} _{1}(t)}$ 和 ${\displaystyle \mathbf {E} _{2}=\mathbf {E} _{2}(t)}$，${\displaystyle \mathbf {H} _{2}=\mathbf {H} _{2}(t)}$ 中一个是超前波，一个是滞后波，超前波在过去某个时刻到达到球面，滞后波在将来某个时刻到达到球面，因此两个场不同时在大球面上不为零。因此有，

${\displaystyle \int _{t=\infty }^{\infty }}$${\displaystyle \oiint }$${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$${\displaystyle (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}+\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1})\cdot d\mathbf {A} dt=0}$

因此有，

${\displaystyle \int _{t=-\infty }^{\infty }\int _{V}(\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}+\mathbf {E} _{2}\cdot \mathbf {J} _{1})dVdt=0}$

假设${\displaystyle \mathbf {J} _{1}=\mathbf {J} _{1}(t)}$在体积${\displaystyle V1}$内。${\displaystyle \mathbf {J} _{2}=\mathbf {J} _{2}(t)}$在体积${\displaystyle V2}$内,且${\displaystyle V1}$ 和 ${\displaystyle V2}$ 在 ${\displaystyle V}$ 内。 因此有如下形式的电磁场互能定理，

${\displaystyle -\int _{t=-\infty }^{\infty }\int _{V2}\mathbf {E} _{2}\cdot \mathbf {J} _{1}dVdt=\int _{t=-\infty }^{\infty }\int _{V1}\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}dVdt}$

该互能定理是由W. J. Welch 于1960年提出的时域互易定理 （）[1]。

J. W. Welch 注意到该定理是适用于一个超前波同一个滞后波。因此该定理是关于超前波的电磁场定理。

赵双任在1987年初发表了互能定理 （）[3],紧接着又发表了互能定理更多的应用 （）[7] （）[6]，

${\displaystyle -}$${\displaystyle \oiint }$${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$${\displaystyle (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}^{*}+\mathbf {E} _{2}^{*}\times \mathbf {H} _{1})\cdot d\mathbf {A} }$

${\displaystyle =\int _{V}(\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}^{*}+\mathbf {E} _{2}^{*}\cdot \mathbf {J} _{1})dV}$

如果两个电磁场${\displaystyle \mathbf {E} _{1}=\mathbf {E} _{1}(\omega )}$，${\displaystyle \mathbf {H} _{1}=\mathbf {H} _{1}(\omega )}$ 和 ${\displaystyle \mathbf {E} _{2}=\mathbf {E} _{2}(\omega )}$，${\displaystyle \mathbf {H} _{2}=\mathbf {H} _{2}(\omega )}$ 中一个是超前波，一个是滞后波，可以证明两个波在大球面的面积分为零。因此有，

${\displaystyle \oiint }$${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$${\displaystyle (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}^{*}+\mathbf {E} _{2}^{*}\times \mathbf {H} _{1})\cdot d\mathbf {A} =0}$

因此有，

${\displaystyle \int _{V}(\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}^{*}+\mathbf {E} _{2}^{*}\cdot \mathbf {J} _{1})dV=0}$

假设${\displaystyle \mathbf {J} _{1}=\mathbf {J} _{1}(\omega )}$在体积${\displaystyle V1}$内。${\displaystyle \mathbf {J} _{2}=\mathbf {J} _{2}(\omega )}$在体积${\displaystyle V2}$内 因此有如下形式的电磁场互能定理，

${\displaystyle -\int _{V2}\mathbf {E} _{2}^{*}\cdot \mathbf {J} _{1}dV=\int _{V1}\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}^{*}dV}$

该定理表明，电流元${\displaystyle \mathbf {J} _{1}}$对 ${\displaystyle \mathbf {E} _{2}}$输出的功率同电流元${\displaystyle \mathbf {J} _{2}}$从电场${\displaystyle \mathbf {E} _{1}}$ 上收到的功率是一样的。

Adrianus T. de Hoop 在1987年末发表了时域关联的的互易定理 （）[4]。

${\displaystyle -\int _{t=-\infty }^{\infty }}$${\displaystyle \oiint }$${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$${\displaystyle (\mathbf {E} _{1}(t)\times \mathbf {H} _{2}(t+\tau )+\mathbf {E} _{2}(t+\tau )\times \mathbf {H} _{1}(t))\cdot d\mathbf {A} dt}$

${\displaystyle =\int _{t=-\infty }^{\infty }\int _{V}(\mathbf {E} _{1}(t)\cdot \mathbf {J} _{2}(t+\tau )+\mathbf {E} _{2}(t+\tau )\cdot \mathbf {J} _{1}(t))dVdt}$

如果两个电磁场${\displaystyle \mathbf {E} _{1}}$，${\displaystyle \mathbf {H} _{1}}$ 和 ${\displaystyle \mathbf {E} _{2}}$，${\displaystyle \mathbf {H} _{2}}$ 中一个是超前波，一个是滞后波有，

${\displaystyle \int _{t=\infty }^{\infty }}$${\displaystyle \oiint }$${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$${\displaystyle (\mathbf {E} _{1}(t)\times \mathbf {H} _{2}(t+\tau )+\mathbf {E} _{2}(t+\tau )\times \mathbf {H} _{1}(t))\cdot d\mathbf {A} dt=0}$

可以证明上式是对应频域公式的傅里叶变换，在频域证明这个公式比较容易，上一小节我们已经对此做了证明。

因此有，

${\displaystyle \int _{t=-\infty }^{\infty }\int _{V}(\mathbf {E} _{1}(t)\cdot \mathbf {J} _{2}(t+\tau )+\mathbf {E} _{2}(t+\tau )\cdot \mathbf {J} _{1}(t))dVdt=0}$

假设${\displaystyle \mathbf {J} _{1}(t)}$在体积${\displaystyle V1}$内。${\displaystyle \mathbf {J} _{2}(t)}$在体积${\displaystyle V2}$内 因此有如下形式的电磁场互能定理，

${\displaystyle -\int _{t=-\infty }^{\infty }\int _{V2}\mathbf {E} _{2}(t+\tau )\cdot \mathbf {J} _{1}(t)dVdt=\int _{t=-\infty }^{\infty }\int _{V1}\mathbf {E} _{1}(t)\cdot \mathbf {J} _{2}(t+\tau )dVdt}$

可以证明时域关联的的互易定理()[4] 与频域互能定理 ()[3] 仅差一个傅里叶变换，因此可以看成是一个定理。时域互易定理 （）[1] 是时域关联的的互易定理 ()[4] 的一个特例。因此这三个定理可以看成是一个定理。我们通称其为互能定理，强调此定理应该是电磁场理论中的能量定理。

赵双任定义了两个电磁场量的内积,范数，以及球面波函数的展开方法 （）[3]

假定${\displaystyle \xi _{1}=[\mathbf {E} _{1},\mathbf {H} _{1}]}$ 是源${\displaystyle \mathbf {J} _{1}}$的电磁场， ${\displaystyle \xi _{2}=[\mathbf {E} _{2},\mathbf {H} _{2}]}$ 是源${\displaystyle \mathbf {J} _{2}}$的电磁场，假定两个源都在闭曲面上的内，两个场的内积可定义如下：

${\displaystyle (\xi _{1},\xi _{2})=}$${\displaystyle \oiint }$${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$${\displaystyle (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}^{*}+\mathbf {E} _{2}^{*}\times \mathbf {H} _{1})\cdot d\mathbf {A} dt}$

如果${\displaystyle \xi _{1}}$ 和 ${\displaystyle \xi _{2}}$ 都是滞后波，且所有电磁场的源都在曲面积分的曲面内。上述内积定义满足内积空间公理，

I. 共轭对称:${\displaystyle (\xi _{1},\xi _{2})=(\xi _{2},\xi _{1})^{*}}$

II. 线性:${\displaystyle (\lambda (\xi _{1}+\xi _{2}),\xi _{3})=\lambda (\xi _{1},\xi _{3})+\lambda (\xi _{2},\xi _{3})}$

III.非负性：${\displaystyle (\xi ,\xi )>0}$

IV：非退化 ${\displaystyle (\xi ,\xi )=0}$ 当且仅当 ${\displaystyle \xi =0}$

因此这样的电磁场，即所有源在曲面内的电磁场的滞后波，构成了一个内积空间。

同理超前波也构成了一个内积空间。考虑超前波的能流是指向曲面内的，为了保证曲面积分取正值，曲面的发现应该指向内。

滞后波同超前波合并也应该是一个内积空间，超前波同滞后波的内积有着十分重要的物理意义。

V: 上面的条件都是数学方面的。在物理方面，我们注意到这个曲面实际上可以是任意的，只要两个源都在其中即可。经常为了方便这个曲面可以取到到半径无穷大的球面上。这个物理上的条件保证了这个内积不因所取的曲面不同而不同。因此这个内积是很有意义的。有了这一条该内积也可以不用指明到底是在哪一个曲面上作的积分。另外曲面积分也不一定是封闭的曲面。有时可以是无穷大的开曲面，例如延申到无穷的平面。两个源可以在曲面的一方，也可以分别在曲面的两方。

${\displaystyle ||\xi ||={\sqrt {(\xi ,\xi )}}={\sqrt {2\cdot \Re \{\iint _{\Gamma }(\mathbf {E} \times \mathbf {H} ^{*})\}d\mathbf {A} }}}$

赵双任于1987年上半年引入电磁场互能定理。他强调虽然这个定理可以看成是一个互易定理，但是它也是一个能量定理，因此应该称为互能定理。互能定理可以用内积表示成为，

${\displaystyle -(\tau _{1},\xi _{2})_{V_{1}}=(\xi _{1},\tau _{2})_{V_{2}}}$

${\displaystyle (\tau _{1},\xi _{2})_{V_{1}}=\int _{V1}({\boldsymbol {J}}_{1}(\omega )\cdot {\boldsymbol {E}}_{2}^{*}(\omega )+{\boldsymbol {K}}_{1}(\omega )\cdot {\boldsymbol {H}}_{2}^{*}(\omega ))dV}$

${\displaystyle (\xi _{1},\tau _{2})_{V_{2}}=\int _{V2}({\boldsymbol {E}}_{1}(\omega )\cdot {\boldsymbol {J}}_{2}^{*}(\omega )+{\boldsymbol {H}}_{1}(\omega )\cdot {\boldsymbol {K}}_{2}^{*}(\omega ))dV}$

赵双任博士1989年提出互能原理可以用作惠更斯原理 （）[7]

${\displaystyle -(\tau _{1},\xi _{2})_{V_{1}}=(\xi _{1},\xi _{2})_{\Gamma }=(\xi _{1},\tau _{2})_{V_{2}}}$

此处，

${\displaystyle (\xi _{1},\xi _{2})_{\Gamma }=\oint _{\Gamma }(\mathbf {E} _{1}(\omega )\times \mathbf {H} _{2}^{*}(\omega )+\mathbf {E} _{2}^{*}(\omega )\times \mathbf {H} _{1}(\omega ))\cdot {\hat {n}}d\Gamma }$

${\displaystyle \Gamma }$ 是包围 ${\displaystyle V_{1}}$ and ${\displaystyle V_{2}}$的任何闭曲面. 法线矢量 ${\displaystyle {\hat {n}}}$ 取为从 ${\displaystyle V_{1}}$ 到 ${\displaystyle V_{2}}$. 惠更斯原理告诉我们电磁场不一定要由其源来计算，也可以从源产生的波来计算。${\displaystyle \tau _{2}=[K_{2},0]=[0,{\boldsymbol {\hat {x}}}\delta ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {x}}')]}$ 我们可以得到 ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {x}})}$, 即,

${\displaystyle (\xi _{1},\xi _{2})_{\Gamma }={\boldsymbol {\hat {x}}}\cdot {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {x}})}$

${\displaystyle \tau _{2}=[0,J_{2}]=[{\boldsymbol {\hat {x}}}\delta ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {x}}'),0]}$ 我们可以得到 ${\displaystyle {\boldsymbol {H}}({\boldsymbol {x}})}$，即，

${\displaystyle (\xi _{1},\xi _{2})_{\Gamma }={\boldsymbol {\hat {x}}}\cdot {\boldsymbol {H}}({\boldsymbol {x}})}$

赵双任博士最近把上述两个电磁场的内积解释为互能流。因此前面提到惠更斯原理可以重新解释为互能流定理。内积也可以定义在时域。内积定义到时域其物理含义也更清楚些。

${\displaystyle (\xi _{1},\xi _{2})=\int _{t=-\infty }^{\infty }\iint _{\Gamma }({\boldsymbol {E}}_{1}\times {\boldsymbol {H}}_{2}+{\boldsymbol {E}}_{2}\times {\boldsymbol {H}}_{1})\cdot {\hat {n}}d\Gamma dt}$

${\displaystyle \iint _{\Gamma }}$ 是把区域 ${\displaystyle V_{1}}$ 和 ${\displaystyle V_{2}}$分开的闭曲面，或者无穷大开曲面。 ${\displaystyle {\hat {n}}}$是从${\displaystyle V_{1}}$指向${\displaystyle V_{2}}$法向矢量。

${\displaystyle \tau _{1}}$产生的滞后波${\displaystyle \xi _{1}}$ 与 ${\displaystyle \tau _{2}}$产生的超前波${\displaystyle \xi _{2}}$有如下互能流定理，

• I

${\displaystyle -(\tau _{1},\xi _{2})=(\xi _{1},\xi _{2})=(\xi _{1},\tau _{2})}$

互能定理同前面的惠更斯原理公式是一样的。但是惠更斯原理是强调怎样用曲面上的电磁场计算其他位置的电磁场场。互能流定理强调在一个辐射体电荷同一个吸收体电荷之间有一个能量流通过。通过任何一个曲面的能量流对时间的积分为通过这个曲面的能量。因此通过任何一个介于${\displaystyle V_{1}}$和${\displaystyle V_{2}}$之间的任何曲面的能量都是相等的。

滞后波${\displaystyle \xi _{1}}$ 同超前波 ${\displaystyle \xi _{2}}$之间也有如下的互能流定理

• II

${\displaystyle (\xi _{1},\xi _{2})_{\Gamma }=0}$

如果闭曲面${\displaystyle \Gamma }$包围${\displaystyle V_{1}}$和${\displaystyle V_{2}}$. 这个互能流定理告诉我们滞后波同超前波构成的互能流没有任何泄露，没有能量泄露到无穷远处。这一点也很重要。这一点保证能量都从${\displaystyle \tau _{1}}$传递到${\displaystyle \tau _{2}}$。

互能定理

• III

${\displaystyle -(\tau _{1},\xi _{2})=(\xi _{1},\tau _{2})}$

告诉我们超前波${\displaystyle \xi _{2}}$从源 ${\displaystyle \tau _{1}}$吸收的能量等于滞后波${\displaystyle \xi _{1}}$对 吸收体的源${\displaystyle \tau _{2}}$施加的能量。能量的传递是靠互能流${\displaystyle (\xi _{1},\xi _{2})_{\Gamma }}$进行的

从以上互能流的两个定理 I,II，互能定理 III，赵双任博士猜测互能流很可能是从辐射体到吸收体的光子的能量流, 或者说光子就是互能流 （）[14]。 互能流的形状为两头尖，中间粗大。两端像粒子，中间像波。互能流又不像波那样随着距离衰减。互能流可以携带能量，动量，并把它们从一个点传递到另一个点。即是点到点的传递能量。互能流也不会把能量泄露到无穷远，这些优良的特性正式光子所需要的。因此赵双任博士猜测光子不是别的就是互能流。这个猜测也是确实可信的。

我们知道坡印廷定理可以写为，

${\displaystyle -}$${\displaystyle \oiint }$${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$${\displaystyle (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )\cdot d\mathbf {A} dt=\int _{V}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} +\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}})dV}$

上式记作电流元${\displaystyle \mathbf {J} }$的坡印廷定理。

假定电磁场是由两个源产生的，电流源 ${\displaystyle \mathbf {J} _{1}}$ 产生的电磁场为 ${\displaystyle \mathbf {E} _{1}}$ 和 ${\displaystyle \mathbf {H} _{1}}$ 电流源 ${\displaystyle \mathbf {J} _{2}}$ 产生的电磁场为 ${\displaystyle \mathbf {E} _{2}}$ 和 ${\displaystyle \mathbf {H} _{2}}$ 考虑电磁场有

${\displaystyle -}$${\displaystyle \oiint }$${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$${\displaystyle (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{1})\cdot d\mathbf {A} dt=\int _{V}(\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{1}+\mathbf {E} _{1}\cdot {\frac {\partial \mathbf {D} _{1}}{\partial t}}+\mathbf {H} _{1}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} _{1}}{\partial t}})dV}$

上式记作电流元${\displaystyle \mathbf {J} _{1}}$ 的坡印廷定理。

${\displaystyle -}$${\displaystyle \oiint }$${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$${\displaystyle (\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{2})\cdot d\mathbf {A} dt=\int _{V}(\mathbf {E} _{2}\cdot \mathbf {J} _{2}+\mathbf {E} _{2}\cdot {\frac {\partial \mathbf {D} _{2}}{\partial t}}+\mathbf {H} _{2}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} _{2}}{\partial t}})dV}$

上式记作电流元${\displaystyle \mathbf {J} _{2}}$ 的坡印廷定理。

叠加原理为，

${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} _{1}+\mathbf {E} _{2}}$

${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {H} _{1}+\mathbf {H} _{2}}$

${\displaystyle \mathbf {D} =\mathbf {D} _{1}+\mathbf {D} _{2}}$

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {B} _{1}+\mathbf {B} _{2}}$

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {J} _{1}+\mathbf {J} _{2}}$

在本节上面电流元${\displaystyle \mathbf {J} }$坡印廷定理中考虑上面叠加原理，并减去电流元${\displaystyle \mathbf {J} _{1}}$和电流元${\displaystyle \mathbf {J} _{2}}$的坡印廷定理得，

${\displaystyle -\int _{V}(\mathbf {E} _{1}\cdot {\frac {\partial \mathbf {D} _{2}}{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {D} _{1}}{\partial t}}\cdot \mathbf {E} _{2}+\mathbf {H} _{1}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} _{2}}{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {B} _{1}}{\partial t}}\cdot \mathbf {H} _{2})dV}$

${\displaystyle =}$${\displaystyle \oiint }$${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$${\displaystyle (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}+\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1})\cdot d\mathbf {A} +\int _{V}(\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}+\mathbf {E} _{2}\cdot \mathbf {J} _{1})dV}$

上式对应坡印廷公式中的互能项，因此可被称为互能公式。

考虑电磁场${\displaystyle \mathbf {E} _{1}}$，${\displaystyle \mathbf {H} _{1}}$ 和 ${\displaystyle \mathbf {E} _{2}}$，${\displaystyle \mathbf {H} _{2}}$ 都是一个单个短脉冲信号。在${\displaystyle t=-\infty }$ 和 ${\displaystyle t=+\infty }$ 这些电磁场都为零。因此有，

${\displaystyle \int _{t=-\infty }^{\infty }\int _{V}(\mathbf {E} _{1}\cdot {\frac {\partial \mathbf {D} _{2}}{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {D} _{1}}{\partial t}}\cdot \mathbf {E} _{2}+\mathbf {H} _{1}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} _{2}}{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {B} _{1}}{\partial t}}\cdot \mathbf {H} _{2})dVdt}$

${\displaystyle =\int _{t=-\infty }^{\infty }{\frac {d}{dt}}\int _{V}(\epsilon _{0}\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}+\mu _{0}\mathbf {H} _{1}\cdot \mathbf {H} _{2})dVdt}$

${\displaystyle =\int _{t=-\infty }^{\infty }{\frac {d}{dt}}Udt}$

${\displaystyle =[U]_{t=-\infty }^{\infty }}$

${\displaystyle =U(\infty )-U(-\infty )}$

${\displaystyle =0-0}$

${\displaystyle =0}$

此处， ${\displaystyle U=\int _{V}(\epsilon _{0}\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}+\mu _{0}\mathbf {H} _{1}\cdot \mathbf {H} _{2})dV}$

在上式互能公式中考虑上式可得时域互能定理，

${\displaystyle -\int _{t=-\infty }^{\infty }}$${\displaystyle \oiint }$${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$${\displaystyle (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}+\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1})\cdot d\mathbf {A} dt}$

${\displaystyle =\int _{t=-\infty }^{\infty }\int _{V}(\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}+\mathbf {E} _{2}\cdot \mathbf {J} _{1})dVdt}$

对于时域相关的互能定理的证明同上类似，频域互能定理，是时域相关的互能定理的傅里叶变换，因此也不难证明。证明就不详细的给出。

洛伦兹互易定理为，

${\displaystyle \oiint }$${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$${\displaystyle (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1})\cdot d\mathbf {A} dt}$

${\displaystyle =\int _{V}(-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}+\mathbf {E} _{2}\cdot \mathbf {J} _{1})dVdt}$

电磁场共轭变换 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 在时域定义如下 （）[15]。

${\displaystyle \mathbb {C} [\mathbf {E} (t),\mathbf {H} (t),\mathbf {J} (t),\mathbf {K} (t),\epsilon (t),\mu (t)]=[\mathbf {E} (-t),-\mathbf {H} (-t),-\mathbf {J} (-t),\mathbf {K} (-t),\epsilon (-t),\mu (-t)]}$

在频域定义如下， ${\displaystyle \mathbb {C} [\mathbf {E} (\omega ),\mathbf {H} (\omega ),\mathbf {J} (\omega ),\mathbf {K} (\omega ),\epsilon (\omega ),\mu (\omega )]=[\mathbf {E} ^{*}(\omega ),-\mathbf {H} ^{*}(\omega ),-\mathbf {J} ^{*}(\omega )(\omega ),\mathbf {K} ^{*}(\omega ),\epsilon ^{*}(\omega ),\mu ^{*}(\omega )]}$

其中 ${\displaystyle \mathbf {K} }$ 为磁流密度。 共轭变换不是像傅里叶变换那样的数学变换,一个公式经过数学变换它的物理性质没有变化。共轭变换是一个物理变换。 共轭变换把滞后波变成超前波，把超前波变成滞后波。一个电磁场的定理经过共轭变换以后仍然是一个电磁场的定理，但是其物理性质会发生变化，因此会成为一个新的物理定理。

对互能定理两个电磁场之一，比如 ${\displaystyle \mathbf {E} _{2},\mathbf {H} _{2}}$ 作共轭变换可得洛伦兹互易定理。 反之， 对洛伦兹互易定理两个电磁场之一，比如 ${\displaystyle \mathbf {E} _{2},\mathbf {H} _{2}}$ 作共轭变换，保持${\displaystyle \mathbf {E} _{1},\mathbf {H} _{1}}$不变，可得互能定理。即洛伦兹互易定理可写成，

${\displaystyle -(\tau _{1},\mathbb {C} \xi _{2})=(\xi _{1},\mathbb {C} \tau _{2})}$

尽管两个定理有上述紧密的联系，它们是两个完全独立的定理。洛伦兹互易定理用于处理两个电流源它们都产生滞后波的情况。对于两个电流元都产生滞后波，互易定理中的曲面积分为零。这里假设曲面是无穷大球面。互能定理用于一个源产生滞后波，另一个源产生超前波。这时，互能定理的曲面积分为零。

假设在上述电磁场的内积空间中有一个完备的电磁场集合${\displaystyle \xi _{0}}$,${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},...}$. 假如这些场都是归一化的，即，

${\displaystyle (\xi _{i},\xi _{j})=\delta _{ij}}$

任意电磁场可以被展开为

${\displaystyle \xi =\sum _{i=0}^{N}a_{i}\xi _{i}}$

其中

${\displaystyle (\xi ,\xi _{j})=(\sum _{i=0}^{N}a_{i}\xi _{i},\xi _{j})=a_{j}}$

因此我们有

${\displaystyle \xi =\sum _{i=0}^{N}(\xi ,\xi _{i})\xi _{i}}$

赵双任提出了球面波和平面波展开。球面波可以写为：

${\displaystyle \xi _{nm}=[M_{nm},{\frac {j}{\eta }}N_{nm}]}$

${\displaystyle \eta _{nm}=[N_{nm},{\frac {j}{\eta }}M_{nm}]}$

其中因子 ${\displaystyle {\frac {j}{\eta }}}$ 使得上式方括号内第一项为电场时第二项刚好是磁场。 ${\displaystyle j={\sqrt {-1}}}$

其中

${\displaystyle M_{nm}=\nabla \times [g_{n}rh_{n}(kr)Y_{n}^{m}(\theta ,\phi )]}$

${\displaystyle N_{nm}={\frac {1}{k}}\nabla \times M_{nm}}$

${\displaystyle h_{n}}$ 是${\displaystyle n}$ 阶第二类Hankel函数， ${\displaystyle k=\omega {\sqrt {\epsilon \mu }}}$

${\displaystyle \eta ={\sqrt {\frac {\mu }{\epsilon }}}}$

${\displaystyle r,\theta ,\phi }$

are coordinates of sphere.The corresponding unit vector are ${\displaystyle r,\theta ,\phi }$

${\displaystyle Y_{n}^{m}(\theta ,\phi )=[(2n+1){\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}]^{\frac {1}{2}}P_{n}^{m}(cos\theta )\exp(jm\phi )}$

${\displaystyle P_{n}^{m}}$ 是连带Legendre函数， ${\displaystyle n=0,1,...}$ ${\displaystyle m=0,\pm 1,......\pm n}$

球面展开公式可写为

${\displaystyle \xi =\sum _{nm}(a_{nm}\xi _{nm}+b_{nm}\eta _{nm})}$

${\displaystyle a_{nm}=(\xi ,\xi _{nm}),\,\,\,\,b_{nm}=(\xi ,\eta _{nm})}$

同一个定理赵双任称其为互能定理，但是Welch确称它为时域互易定理。其实这个公式的确可以作为互易定理。即对互能定理中所有的场都做共额变换，

${\displaystyle -(\mathbb {C} \tau _{1},\mathbb {C} \xi _{2})=(\mathbb {C} \xi _{1},\mathbb {C} \xi _{2})=(\mathbb {C} \tau _{1},\mathbb {C} \xi _{2})}$

得，

${\displaystyle (\xi _{2},\tau _{1})=(\xi _{1},\xi _{2})=-(\xi _{2},\tau _{1})}$

在原来互能定理中${\displaystyle \tau _{1}}$是辐射体，${\displaystyle \xi _{1}}$是滞后波，${\displaystyle \tau _{2}}$ 是吸收体，${\displaystyle \xi _{2}}$是超前波。变换后，${\displaystyle \tau _{2}}$ 是辐射体，${\displaystyle \xi _{2}}$是滞后波。${\displaystyle \tau _{1}}$变成吸收体，${\displaystyle \xi _{1}}$变成超前波。

按照这个互易定理接收天线的方向图同发射天线的方向图一样。同理电荷在做辐射时的方向图同它做吸收时的方向图一样。

假设发射天线的电流元 ${\displaystyle \mathbf {J} _{1}}$ 产生滞后波 ${\displaystyle [\mathbf {E} _{1},\mathbf {H} _{1}]}$，

假设接收天线电流元 ${\displaystyle \mathbf {J} _{2}}$ 产生超前波， ${\displaystyle [\mathbf {E} _{2},\mathbf {H} _{2}]}$，

${\displaystyle -\int _{V2}\mathbf {E} _{2}^{*}\cdot \mathbf {J} _{1}dVdt=\int _{V1}\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}^{*}dVdt}$

这个定理告诉我们接收天线的超前波 ${\displaystyle \mathbf {E} _{2}}$ 在发射天线 ${\displaystyle \mathbf {J} _{1}}$ 上吸吮的功率同滞后波 ${\displaystyle \mathbf {E} _{1}}$ 对接收天线 ${\displaystyle \mathbf {J} _{2}}$ 上提供的功率相等。

我们知道发射天线的方向图容易计算但不容易测量，相反接收天线的方向图不容易直接计算，但容易测量。这个定理可以用来根据发射天线计算所得的方向图确定接收天线的方向图。也可用于根据测量所得的接收天线方向图确定发射天线的方向图。

关于接收天线的方向图的计算， 应用互能定理同应用互易定理在求接收天线的方向图这点上是一致的。但是如果用两者计算接收天线上的电流就不同了。两者关键不同是在对接收天线的认识上。应用互能定理计算，必须承认接收天线辐射超前波。用互易定理计算其实认为接收天线辐射滞后波。究竟接收天线辐射超前波还是滞后波这个问题是有争议的。承认超前波的学者可以用互能定理计算接收天线的方向图。不承认超前波的学者使用洛伦兹互易定理计算接收天线的方向图。尽管在计算方向图上两者同样有效，但从物理上讲，两者中只有一个是真正的物理定理。另一个这个物理定理的一个变换，可以看成数学定理。互能定理的提出者赵双任认为互能定理是一个能量定理，当然也是一个物理定理。互易定理仅仅是互能定理的共轭变换，不是一个物理定理。