全實域

在代數數論中，若數域 ${\displaystyle K}$ 的每個嵌入 ${\displaystyle \sigma :K\to \mathbb {C} }$ 的像都落在實數域 ${\displaystyle \mathbb {R} }$，則稱 ${\displaystyle K}$ 為。

若 ${\displaystyle K}$ 可表為 ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\alpha )}$，設 ${\displaystyle \alpha }$ 在 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 上的的極小多項式為 ${\displaystyle P(X)}$，則嵌入映射 ${\displaystyle \sigma :K\to \mathbb {C} }$ 透過 ${\displaystyle \sigma \mapsto \sigma (\alpha )}$ 一一對應於 ${\displaystyle P(X)}$ 在 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 裡的根。${\displaystyle K}$ 是全實域若且唯若 ${\displaystyle P(X)}$ 僅有實根。

另一種判準是：${\displaystyle K}$ 是全實域若且唯若 ${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} \simeq \mathbb {R} ^{[K:\mathbb {Q} ]}}$。

全實域在代數數論中是較容易處理的數域。對於任意的阿貝爾擴張 ${\displaystyle L/\mathbb {Q} }$，或者 ${\displaystyle L}$ 是全實域，或者存在極大的全實子域 ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$ 使得 ${\displaystyle [L:K]=2}$。