分塊矩陣

如下矩陣

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&1&2&2\\1&1&2&2\\3&3&4&4\\3&3&4&4\end{bmatrix}}}$

可以分成四個 2×2 區塊

${\displaystyle P_{11}={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}},P_{12}={\begin{bmatrix}2&2\\2&2\end{bmatrix}},P_{21}={\begin{bmatrix}3&3\\3&3\end{bmatrix}},P_{22}={\begin{bmatrix}4&4\\4&4\end{bmatrix}}}$

分塊後的矩陣可以寫作 ${\displaystyle P={\begin{bmatrix}P_{11}&P_{12}\\P_{21}&P_{22}\\\end{bmatrix}}}$

一个分块的矩阵乘法可以仅用包含算符的子矩阵来表述。 给定一个${\displaystyle (m\times p)}$ 矩阵 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ 有 ${\displaystyle q}$ 行${\displaystyle s}$ 列

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}&\cdots &\mathbf {A} _{1s}\\\mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}&\cdots &\mathbf {A} _{2s}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {A} _{q1}&\mathbf {A} _{q2}&\cdots &\mathbf {A} _{qs}\end{bmatrix}}}$

另外 一个 ${\displaystyle (p\times n)}$ 矩阵 ${\displaystyle \mathbf {B} }$ 有 ${\displaystyle s}$ 行且 ${\displaystyle r}$ 列

${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}&\cdots &\mathbf {B} _{1r}\\\mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}&\cdots &\mathbf {B} _{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {B} _{s1}&\mathbf {B} _{s2}&\cdots &\mathbf {B} _{sr}\end{bmatrix}},}$

矩阵乘积

${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {A} \mathbf {B} }$

可被分成块来计算，矩阵${\displaystyle \mathbf {C} }$ 是 ${\displaystyle (m\times n)}$ 的矩阵有 ${\displaystyle q}$ 行 ${\displaystyle r}$ 列，你的矩阵 ${\displaystyle \mathbf {C} }$ 中的分割矩阵可以在乘法中被相乘:

${\displaystyle \mathbf {C} _{\alpha \beta }=\sum _{\gamma =1}^{s}\mathbf {A} _{\alpha \gamma }\mathbf {B} _{\gamma \beta }}$