初拓扑
在一般拓扑学与数学的相关领域中,给定集合与上的一族函数,其初拓扑(the initial topology)是使得这一族函数连续的最粗糙拓扑。
子空間拓撲与積拓撲都是初拓扑的特例。事实上,初拓扑可以看作是这两种结构的推广。
与初拓扑对偶的结构稱為终拓扑。
性质
特征性质
给出任意拓扑空间,X上的初拓扑依照上面所给的定义。则有以下性质成立:
从到的映射是连续的,当且仅当 是连续的。
从闭集分离点
称从闭集分离点,如果中任意闭集,与任意不属于的点,,使得
这里的cl是闭包算子。
关于初拓扑有如下定理:
一族连续映射从闭集分离点,当且仅当the cylinder sets构成集合的一个基。
从这个定理可以得到,如果上有一族连续映射从闭集分离点,那么关于这族映射就存在一个初拓扑。反之是不成立的,因为初拓扑是由为子基生成的拓扑,在这个定理中要求the cylinder sets是集合的一个基。
参考资料
- Willard, Stephen. . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. 1970. ISBN 0-486-43479-6.
- PlanetMath上Initial topology的資料。
- PlanetMath上Product topology and subspace topology的資料。
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