协方差函数

在概率论和统计学中, 协方差是一种两个变量如何相关变化的度量，而协方差函数, or 核函数, 描述一个随机过程或随机场中的空间上的协方差。对于一个随机场或随机过程 Z(x) 在定义域 D，一个协方差函数C(x, y) 给出在两个点x 和 y 的值的协方差：

C(x,y):=\operatorname {cov} (Z(x),Z(y)).\,

C(x, y) 在两种情况下称为自协方差函数: 在时间序列 (概念一致，除了x和y 指时间点而不是空间点), 以及在多变量随机场 (指变量自己的协方差，而不是互协方差）.[1]

可容许性

对点 x₁, x₂, …, x_N ∈ D 为每种线性组合的方差

X=\sum _{i=1}^{N}w_{i}Z(x_{i})

可计算为

\operatorname {var} (X)=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}w_{i}C(x_{i},x_{j})w_{j}.

一个函数为有效的协方差函数当且仅当[2] 这个方差对所有可能的N和权重w₁, …, w_N非负。一个有这种性质的函数成为正定.

C(x_{i},x_{j})=C(x_{i}+h,x_{j}+h)\,

对任意延迟 h, 协方差函数可表示为一元函数：

C_{s}(h)=C(0,h)=C(x,x+h)\,

称为 协变差图 也是 协方差函数. C(x_i, x_j) 可由 C_s(h) 计算:

C(x,y)=C_{s}(y-x).\,

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