单环
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在环论，（抽象代数的一个分支）中的概念。若某无零因子环，只有平凡的双边理想（只有零理想及其本身两个理想），则称该环为单环。特别地，交换环是单环当且仅当它是一个域。
单环的中心必是一域。进一步说，单环是该域上的一个结合代数。因此，单代数和单环是相同的概念。
此外，在一些参考文献中（例如Lang（2002）或Bourbaki（2012））还要求该环是左阿廷环或右阿廷环，（即半单的）。在此种术语中，没有平凡理想的无零因子环（即上述定义的单环）被称为准单环。
存在在自身上不是单模的单环，即单环可以有非平凡的左理想或/和右理想：例如域上的全矩阵环，它没有非平凡理想（因为的任何理想都具有的形式，其中是的理想，但却有非平凡的左理想（例如，某些固定列为零的矩阵组成的集合）。
根据阿廷-韦德伯恩定理，即单的环左阿廷环或右阿廷环都是除环上的矩阵环。特别地，如果一个单环是实数域上的有限维向量空间，则他同构于实数域上的矩阵环，复数域上的矩阵环，或四元数域上的矩阵环。
单环，但非除环上的矩阵环的简单环的一个例子是外尔代数。
表征
如果环不包含非平凡的两面理想，则它是一个简单的代数。
简单代数的直接示例是除法代数，其中每个非零元素都有一个乘法逆，例如，四元数的实代数。同样，可以证明在划分环中具有项的n × n矩阵的代数很简单。实际上，这可以描述所有直至同构的有限维简单代数，即，在其中心有限维的任何简单代数与某个除法环上的矩阵代数是同构的。1907年，约瑟夫·韦德伯恩（Joseph Wedderburn）在其博士学位论文《关于超复数》中对此进行了证明。伦敦数学学会论文集。温德本的论文对简单和半简单代数进行了分类。简单代数是半简单代数的构建块：在代数的意义上，任何有限维的半简单代数都是笛卡尔积。
Wedderburn的结果后来在Artin-Wedderburn定理中推广为半简单环。
例子
甲中央简单的代数运算（有时称为布劳代数）是在一个简单的有限维代数字段 ˚F其中心是˚F。 设R为实数字段，C为复数字段，H为四元数。
每个有限维简单代数超过ř是同构的一个矩阵环上- [R ，Ç，或ħ。每个中央简单代数超过ř是同构的一个矩阵环上ř或ħ。这些结果来自Frobenius定理。 C上的每个有限维简单代数都是中心简单代数，并且与C上的矩阵环同构。 有限域上的每个有限维中心简单代数都与该域上的矩阵环同构。 对于交换环，四个下列性质是等效的：作为一个半单环; 是尼恩和降低; 作为一个降低 诺特环的克鲁尔维数0; 并且与场的有限直接积同构。
温德本定理
主要文章：Artin-Wedderburn定理 温德本定理的特征是具有单元的最小环和最小的理想环。（左Artinian条件是第二个假设的推广。）也就是说，直到同构为止，每个这样的环都是除环上n × n矩阵的环。
设D为除法环，M n（D）为在D中具有项的矩阵环。不难证明M n（D）中的每个左理想都采用以下形式：
{中号∈M Ñ（d）| M的n 1，...，n k个列具有零项}， 对于某些固定的{ n 1，...，n k }⊆{1，...，n }。因此，M n（D）中的最小理想形式为
{中号∈M Ñ（d）| 除第k列以外的所有条目都有零个条目}， 对于给定的k。换句话说，如果I是最小左理想值，则I = M n（D）e，其中e是在（k，k）项中为1而在其他地方为零的幂等矩阵。而且，D与e M n（D）e同构。可以将左理想I视为e M n（D）e上的右模块，以及环M n（D）与该模上的同构代数显然是同构的。
上面的示例提出了以下引理：
引理。 阿是与同一性1的环和一个幂等元件 Ê其中电子协会=甲。让我成为左理想Ae，它被视为eAe的右模块。然后，A与I上的同构代数同构，用Hom（I）表示。
证明：我们定义“左正则表示” Φ：甲→坎（我）由Φ（一）米=是为米∈予。Φ是内射，因为如果一个 ⋅ 我= AAE = 0，则AA = AAEA = 0，这意味着一个=一个 ⋅1 = 0。
对于满射，让牛逼∈坎（我）。由于AeA = A，因此单位1可以表示为1 = ∑ a i eb i。所以
Ť（米）= Ť（1⋅ 米）= Ť（Σ一个我EB我中号）=Σ Ť（一个我EEB我米）=Σ Ť（一个我ê）EB我米= [Σ Ť（一个我ê）eb i ] m。 由于表达式[∑ T（a i e）eb i ]不依赖于m，因此Φ是射影。这证明了引理。
温德本定理很容易从引理得出。
定理（Wedderburn）。如果A是具有单位1和最小左理想I的简单环，则A与除环上n × n矩阵的环同构。
一个人只需验证引理成立的假设，即找到一个等幂e，使I = Ae，然后证明eAe是一个除法环。假设A = AeA源自简单的 A。
另请参阅
简单（代数） 简单通用代数
参考
- AA Albert，《代数的结构》，学术讨论会出版物24，美国数学学会，2003，ISBN 0-8218-1024-3。第37页。
- Bourbaki，Nicolas（2012），AlgèbreCh。8（第二版），纽约，柏林：Springer-Verlag，ISBN 978-3-540-35315-7
- 亨德森（DW）（1965）。“ Wedderburn定理的简短证明”。阿米尔。数学。每月一次。72：385–386。doi：10.2307 / 2313499。
- Lam，Tsit-Yuen（2001），非交换环的第一门课程（第二版），纽约，柏林：Springer-Verlag，doi：10.1007 / 978-1-4419-8616-0，ISBN 978-0-387-95325-0，MR 1838439
- Lang，Serge（2002），代数（第三版），柏林，纽约：Springer-Verlag，ISBN 978-0387953854
- 雅各布森（Nathan）（1989），基础代数II（第二版），WH Freeman，ISBN 978-0-7167-1933-5