双线性过滤

在下面这些方程中，u_k 与 v_k 是点 k 处的纹理坐标，y_k 是点 k 处的颜色值。不带下标的值表示像素点，带有下标 0、1、2、3 的值表示从左上沿顺时针方向到左下包围像素的纹素点，带有下标 a、b 的值分别表示像素点在点0、1的连线与点3、2连线上的投影点。由于双线性插值方程是线性插值方程的一种特殊形式，所以我们从较简单的线性插值方程开始分析。

${\displaystyle y_{a}=y_{0}+{\frac {y_{1}-y_{0}}{u_{1}-u_{0}}}(u-u_{0})\,\!}$

${\displaystyle y_{b}=y_{3}+{\frac {y_{2}-y_{3}}{u_{2}-u_{3}}}(u-u_{3})\,\!}$

${\displaystyle y=y_{a}+{\frac {y_{b}-y_{a}}{v_{3}-v_{0}}}(v-v_{0})\,\!}$

假设纹理是正方形的位图，并且满足

${\displaystyle v_{0}=v_{1}\,\!}$

${\displaystyle v_{3}=v_{2}\,\!}$

${\displaystyle u_{0}=u_{3}\,\!}$

${\displaystyle u_{1}=u_{2}\,\!}$

${\displaystyle v_{2}-v_{0}=u_{1}-u_{3}=w\,\!}$

我们进一步定义，

${\displaystyle U={\frac {u-u_{0}}{w}}\,\!}$

${\displaystyle V={\frac {v-v_{0}}{w}}\,\!}$

这样就可以将插值方程化简为：

${\displaystyle y_{a}=y_{0}+(y_{1}-y_{0})U\,\!}$

${\displaystyle y_{b}=y_{3}+(y_{2}-y_{3})U\,\!}$

${\displaystyle y=y_{a}+(y_{b}-y_{a})V\,\!}$

代入方程，得到：

${\displaystyle y=y_{0}+(y_{1}-y_{0})U+(y_{3}-y_{0})V+(y_{2}-y_{3}-y_{1}+y_{0})UV\,\!}$

或者，

${\displaystyle y=y_{0}(1-U)(1-V)+y_{1}U(1-V)+y_{3}V(1-U)+y_{2}UV\,\!}$

这种表示相当简单。但是，如果图像只进行缩放处理，而没有旋转、扭曲、透视或者其它处理，那么使用独立的方程计算并且保存用于后面数据行计算的 y_b 或者 y_a 速度将更快。

这部分代码假设纹理是常见的正方形，没有Mipmap，并且只有一个通道的数据。只有一个通道的情况非常少见，几乎所有的纹理都是彩色的，都有红色、绿色与蓝色通道，有些还有阿尔法透明通道，所以每个 y 都要进行三到四次的计算

double getBilinearFilteredPixelColor(Texture tex, double u, double v) {
  u *= tex.size;
  v *= tex.size;
  int x = floor(u);
  int y = floor(v);
  double u_ratio = u - x;
  double v_ratio = v - y;
  double u_opposite = 1 - u_ratio;
  double v_opposite = 1 - v_ratio;
  double result = (tex[x][y]   * u_opposite + tex[x+1][y]   * u_ratio) * v_opposite + 
                  (tex[x][y+1] * u_opposite + tex[x+1][y+1] * u_ratio) * v_ratio;
  return result;
}

在纹理缩减到一半或者放大一倍的范围内，双线性过滤都能够有非常好的精度。这也就是说，如果纹理在每个方向都有 256 个像素，那么将它缩减到 128 以下或者放大到 512 以上的时候，由于会丢掉太多的像素或者进行了过多的平滑处理，纹理看起来就会很差。通常，可以在缩减的过程中使用 Mipmap 来实现较好的性能；但是，在透视图中的纹理上的经过双线性过滤处理的两个不同尺寸的 mipmap 之间的过渡将非常明显。三线性过滤尽管比较复杂，但是可以使得过渡非常平滑。

为了快速说明纹理过滤中如何丢失纹素，这里有一组用来自于 8 纹素宽纹理的数字表示的盒子的中心，它们与蓝色表示的来自于 3 纹素宽的纹理表示的盒子中心的一组数字混杂在一起。红色数字表示计算 3 纹素纹理中根本不需要的纹素。

0.0625, 0.1667, 0.1875, 0.3125, 0.4375, 0.5000, 0.5625, 0.6875, 0.8125, 0.8333, 0.9375

通常纹理是有限大小的，我们经常会得到坐标位于纹素坐标之外栅格之外的像素。可以用以下几种方法来处理这种情况：

• 旋绕纹理，这样一行中的最后一个纹素将出现在该行第一个纹素的前面，一列中的最后一个纹素将出现在该列第一个纹素前面。在纹理平铺的时候这种方法可以得到最好的效果。
• 纹理之外的区域使用一种颜色。这可能并不是一个非常了不起的想法，但是如果纹理要放到固体或者透明背景上，那么就可以使用这种方法。
• 无限重复边界纹素。如果所设计的纹理不是要重复使用的话，这种方法可以很好地工作。

• 三线性过滤
• 各向异性过滤