哈代空間

對${\displaystyle 0<p<\infty }$，哈代空間${\displaystyle H^{p}}$定義為開單位圓盤上滿足下述性質的全純函數${\displaystyle f}$

${\displaystyle \sup _{0<r<1}\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|f(re^{i\theta })\right|^{p}\;d\theta \right)^{\frac {1}{p}}<\infty .}$

左側的數定義為範數${\displaystyle \|f\|_{H^{p}}}$。

若${\displaystyle 0<p<q<\infty }$，可證明${\displaystyle H^{q}\subset H^{p}}$。

藉凱萊變換，可將單位圓盤的定義翻譯到上半平面的情形。此時哈代空間等於上半平面上滿足下述性質的全純函數${\displaystyle F}$

${\displaystyle \sup _{y>0}\left(\int _{\mathbb {R} }|F(x+iy)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}<\infty }$

左側的數定義為範數${\displaystyle \|F\|_{H^{p}}}$。

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