嘉当联络

它由埃里·嘉当提出，作为他的活动标架法的一部分（和一种表述方法）。它可作用于微分形式，所以带有计算的特征，但也有两个其它重要的方面，两个都更偏几何。嘉当重新表述了伪黎曼几何的微分几何；并不仅仅是（度量）流形，还有任意流形的理论，包括李群。这是用活动标架（repère mobile）的术语来表述的，特别是作为广义相对论的另一种表述。

主要的想法是用正交标架建立联络形式和曲率的表达式。

嘉当形式化是协变导数和曲率的一种可选表示法，它采用微分形式和标架。虽然它最基本的形式是坐标相关的，它非常适合计算。它也可以用标架丛的术语来理解，并且有像旋量丛（spinor bundle）这样的推广。

在根源上，几何由空间的不同物体间的"相似性"的概念组成。在19世纪晚期，相似性的概念通常由李群在空间上的作用给出。李群的作用通常是非常刚性的，所以嘉当几何是这种相似概念的一个推广使得曲率得以出现。当然，一个平坦的嘉当几何是没有曲率的几何。从平坦的情况开始，我们用一般性的形式化数学术语描述嘉当几何是什么意思。

进行嘉当联络的实际计算时，传统上要在一个特定的规范中进行。M上的一个规范就是M的（一个开子集上的）${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ -值1-形式${\displaystyle \theta }$ ，使得商映射 ${\displaystyle \theta :T_{p}M\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$ 是向量空间的同构。

用联络w的术语来讲，一个规范可以通过选择一个截面${\displaystyle s:M\rightarrow P}$ ，并置${\displaystyle \theta =s^{*}w}$ 来决定。这样一个丛的截面称为一个活动标架。若一对截面s和t给定，则他们通过H-作用相联，所以${\displaystyle s=kt}$ ，其中k一个M上的H-值函数。所导出的规范${\displaystyle s^{*}w}$ 和${\displaystyle t^{*}w}$ 有下列方程关联

${\displaystyle s^{*}w=Ad(k^{-1})t^{*}w+k^{*}\omega _{H}}$

其中${\displaystyle \omega _{H}}$ 是H的Maurer-Cartan形式。

令V为H的实或复表示，H的作用记作${\displaystyle \rho }$ 。令${\displaystyle A^{0}(P,V)}$ 为P上的等变V值函数，使得

${\displaystyle R_{h}^{*}f=\rho (h^{-1})f}$ 对所有${\displaystyle f\in A^{0}(P,V)}$ .

或者说

${\displaystyle A^{0}(P,V)=P\times _{H}V}$ .

令${\displaystyle A^{q}(P,V)}$ 为P上的等变V值q-形式的空间。在有嘉当联络的情况，有一个标准的同构

${\displaystyle \phi :A^{q}(P,V)\cong A^{0}(P,\bigwedge ^{q}{\mathfrak {g}}^{*})}$

由下式给出 ${\displaystyle \alpha (X_{1},X_{2},\dots ,X_{q})=\phi (\alpha )(w^{-1}X_{1},\dots ,w^{-1}X_{q})}$

de Rham算子保持等变性，所以退化为一阶微分算子

${\displaystyle d:A^{q}(P,V)\rightarrow A^{q+1}(P,V)}$ .

基本D算子就是如下复合算子

${\displaystyle D=\phi ^{-1}\circ d:A^{0}(P,V)\rightarrow A^{0}(P,V\otimes {\mathfrak {g}}^{*})}$ .

作用于${\displaystyle A^{0}(P,V)}$ 中的函数，得到

${\displaystyle D_{X}f=w^{-1}(X)f.}$

共变微分是一种一阶微分算子，可以定义在一大类嘉当几何上。同上节一样，令数据${\displaystyle (P,H,{\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},w)}$ 给定一个嘉当几何，并令${\displaystyle (V,\rho )}$ 为H的一个表示，并在M上形成向量丛${\displaystyle \mathbb {V} =A^{0}(P,V)}$ 。共变导数是一个一阶微分算子

${\displaystyle \nabla _{X}:\Gamma (\mathbb {V} )\rightarrow \Gamma (\mathbb {V} )}$

对每个${\displaystyle X\in TM}$ 满足通常的公理：若v和w是${\displaystyle \mathbb {V} }$ 的截面，k是M上的函数，而X和Y是TM的截面，则

• ${\displaystyle \nabla _{X}(v+w)=\nabla _{X}v+\nabla _{X}w}$

• ${\displaystyle \nabla _{X+Y}v=\nabla _{X}v+\nabla _{Y}v}$

• ${\displaystyle \nabla _{kX}v=k\nabla _{X}v}$

• ${\displaystyle \nabla _{X}(kv)=X(k)v+k\nabla _{X}v.}$

要构造共变微分，令v为${\displaystyle \mathbb {V} }$ 任一截面。注意v可以看作H-等变映射${\displaystyle P\rightarrow V}$ 。这是我们要采用的观点。令X为M的切丛的一个截面。取任意到P的切丛上的右不变提升${\displaystyle {\bar {X}}}$ 。定义

${\displaystyle \nabla _{X}v={\bar {X}}(v)+\rho (\omega ({\bar {X}}))(v)}$ .

要证明${\displaystyle \nabla _{X}}$ 有所需属性，它必须：（1）和所选的提升${\displaystyle {\bar {X}}}$ 无关，（2）等变，所以它下降为${\displaystyle \mathbb {V} }$ 的一个截面。

对于（1），选择X的一个右不变的提升的模糊性是${\displaystyle X\mapsto X+\zeta ^{+}}$ 形式的变换，其中${\displaystyle \zeta ^{+}}$ 是一个从${\displaystyle \zeta \in {\mathfrak {h}}}$ 导出的右不变竖直向量场。所以，在新的提升${\displaystyle {\bar {X}}+\zeta ^{+}}$ 下计算共变导数，就得到

${\displaystyle \nabla _{X}v={\bar {X}}(v)+\zeta ^{+}(v)+\rho (\omega ({\bar {X}}+\zeta ^{+}))(v)}$

${\displaystyle ={\bar {X}}(v)+\zeta ^{+}(v)+\rho (\omega ({\bar {X}}))(v)+\rho (\zeta )(v)}$

${\displaystyle ={\bar {X}}(v)+\rho (\omega ({\bar {X}}))(v)}$

因为${\displaystyle \rho (\zeta )(v)=-\zeta ^{+}(v)}$ ，这只要取等变属性${\displaystyle R_{h}^{*}v=\rho (h^{-1})v}$ 的微分就可以看到。

对于（2），因为${\displaystyle {\bar {X}}}$ 是右不变的，

${\displaystyle R_{h}^{*}({\bar {X}}(v))={\bar {X}}(R_{h}^{*}v)={\bar {X}}(\rho (h^{-1})(v))=\rho (h^{-1})({\bar {X}}(v))}$

进一步的有

${\displaystyle R_{h}^{*}[\rho (\omega ({\bar {X}}))(v)]=\rho (Ad(h^{-1})\omega ({\bar {X}}))(\rho (h^{-1})v)}$

${\displaystyle =\rho (h^{-1})\rho (\omega ({\bar {X}}))(v)}$

所以${\displaystyle R_{h}^{*}(\nabla _{X}v)=\rho (h^{-1})\nabla _{X}v}$ ，和我们所要的一样。

参看：黎曼几何，广义相对论

• M. Nakahara, "Geometry, Topology and Physics", ISBN 0750306068（2nd ed, paperback）

• 埃雷斯曼联络
• 仿射联络
• 曲率形式