齐性空间
在数学,特别是李群、代数群与拓扑群的理论中,关于群G的一个齐性空间()是一个非空流形或拓扑空间X,G可传递地作用在X上,G中的元素稱之為X的對稱。一个特例是空间X的自同構群,這裡自同構群可以是等距同構群、微分同胚群或是同胚群。在這些例子中,如果直觉想成X于任何地方局部看起来一样,則X是齐性的。像是等距同構(剛體幾何)、微分同胚(微分幾何)或是同胚(拓撲)。一些作者要求G的作用是有效的(或忠实),不过本文并不要求这样。从而X上存在可以想象为保持X上相同“几何结构”的一个群作用,使X成为一个单G-轨道。
正式定义
设X是一个非空集合,G是一个群。如果存在G在X上一个作用,则X称为一个G-空间[1]。注意G通过自同构自动作用在这个集合上。如果X还额外属于某一个范畴,则要求G中元素的作用是这个范畴中的自同构。从而由G在X上产生的映射保持结构。一个齐性空间是一个G作用传递的G空间。
简明地说,如果X是范畴C中一个对象,则一个G-空间结构是G到范畴C中对象X的自同构群一个同态:
若ρ(G)是承载集合X的一个传递的、对称群,则二元组 (X,ρ)定义了一个齐性空间。
几何
从埃尔朗根纲领的观点,可以理解在X的几何中“所有点是一样的”。十九世纪中叶黎曼几何提出之前的所有几何本质上都是如此。
例如欧几里得空间、仿射空间和射影空间都自然是相应对称群的齐性空间。这对常曲率非欧几里得几何模型,比如双曲空间,同样成立。
一个深一点的经典例子是三维射影空间里线组成的空间(等价于,四维向量空间中的二维子空间)。用简单的线性代数可以证明GL4传递作用在这个空间上。我们可用“线坐标”将其参数化:存在2×4矩阵的2×2 子式使得其列向量是子空间的两个基向量。所得空间的几何是尤里乌斯·普吕克的线几何。
齐性空间作为陪集
一般地,如果X是一个齐性空间,而Ho是X中某一给定点o的稳定子(选取一个原点),X中的点对应于左陪集G/Ho。
选取不同的原点o一般将得到G商去一个不同子群Ho′,它与Ho相差一个G的内自同构。准确地,
- (1)
这里g是G中任何元素使得go = o′。注意内自同构 (1)与g的选取无关,只取决与g模去Ho。
如果G在X上的作用连续,则H是G的一个闭子群。特别地,如果G是一个李群,则由嘉当定理H是一个闭李子群。从而G/H是一个光滑流形,并且X带有与这个群作用相容惟一的光滑结构。
如果H是恒同子群{e},则X是一个主齐性空间。
例子
对线几何之例子,我们可将H等同于16-维一般线性群
- GL4
的一个12-维子群,由如下矩阵元素的条件定义
- h13 = h14 = h23 = h24 = 0,
通过寻找前两个标准基向量生成的子空间的稳定子。这便证明了X的维数是4。
因为由子式给出的齐次坐标有6个,这意味着后者不是互相独立的。事实上这六个子式间有一个二次关系,已为十九世纪的几何学家知道。
这个例子是比射影空间更早发现的第一个格拉斯曼流形。在数学的通常使用中有许多更深入的典型线性群的齐性空间。
准齐性向量空间
准齐性向量空间概念由佐藤幹夫提出。
它是带有一个代数群G作用的有限维向量空间X,使得存在G的一个轨道在扎里斯基拓扑下是开集(从而稠密)。一个例子是GL1作用在一维空间空间上。
这个定义比它最初出现时更加严格:这样的空间具有不寻常的性质,不可约准齐性向量空间在相差一个稱之為「castling」的轉換下存在一个分类。
物理中的齐性空间
凡用到广义相对论的宇宙学都会使用比安基分类系统。相对论中的齐性空间代表某种宇宙模型的背景度量的空间部分;例如弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克度量的三个案例可以用比安基I(平坦),V(开),VII(平坦或开)与IX(闭)型子集来代表,而Mixmaster universe代表一个比安基IX型宇宙的各向异性例子[2]。
一个N维齐性空间允许一个由N(N-1)/2 基灵向量场组成的集合[3]。三维时,总共给出了六个线性无关的基灵向量场;齐性3-空间可以使用这些向量场的线性组合,来寻找在任何地方都非零的基灵向量场,
这里为“结构常数”,是一个常秩-3张量,两个下指标反对称,表示共变微分算子。在一个平坦各向同性宇宙情形,可能有(I型),但在闭FLRW宇宙情形,这里是列维-奇维塔符号。
参考文献
- 我们假设这个作用在左边。这个区别只在X作为一个陪集的描述时才重要。
- 列夫·朗道and Evgeny Lifshitz, , Butterworth-Heinemann, 1980, ISBN 978-0750627689
- Steven Weinberg, , John Wiley and Sons, 1972
参见
- 埃尔朗根纲领
- 克莱因几何