四次方程
解决四次方程
自然,人们为了找到这些根做了许多努力。就像其它多项式,有时可能对一个四次方程分解出因式;但更多的时候这样的工作是极困难的,尤其是当根是无理数或复数时。因此找到一个通式解法或运算法则(就像二次方程那样, 能解所有的一元二次方程)是很有用的。经过很多努力之后,人们终于找到了一个可以解出任何四次方程的运算法则;不过之后埃瓦里斯特·伽罗瓦证明,这样的一种方法在五次方程这里止步了;也就是说,四次方程是次数最高的一种方程,它的解可以通过一个运算法则,由方程未知数前的系数给出。对于五次方程以上的方程,人们就需要一种更为有效的方法寻找方程的代数解,如同对于五次方程以下的方程所做的那样。
由于四次方程的复杂性(参见下文),求解公式并不经常被使用。如果只要求求解有理实根,可以通过(对于任意次数的多项式都为真)试错法,或是使用鲁菲尼法则(只要所给的多项式的系数都是有理的)求出。到了计算机时代,通过牛顿法,人们可以使用数值逼近的方法快速得到所求的解。但是如果要求四次方程被精确地解出,你可以参见下文关于方法的概述。
求根公式
特殊情况
双二次方程
四次方程式中若 和 均為 者有下列形态:
因此它是一個雙二次方程式。解雙二次方程式非常容易,只要設 ,我們的方程式便成為:
這是一個簡單的二次方程式,其根可用二次方程式的求根公式來解:
當我們求得 z 的值以後,便可以從中得到 的值:
若任何一個 的值為負數或複數,那麼一些 的值便是複數。
费拉里的方法
开始时,四次方程首先要被转化为低级的四次方程式。
转变成减少次数的四次方程
要让以下四次方程式变成标准的四次方程式,先在等式两边分别除以
第一步:消除 列。为了做到这一步,先把变量变成,其中
- .
将变量替换:
展开后变成:
整理后变成以u为变量的表达式
现在改变表达式的系数,为
结果就是我们期望的低级四次方程式,为
如果 那么等式就变成了雙二次方程式,更加容易解决(解释上面);利用反向替代,我们可以获得我们要解决的变量 的值.
费拉里的解法
这种降低的四次方程的方法是被费拉里发现的,然而,这种方式曾经被发现过。接下来,利用一个恆等式
从方程 (1)和上式,得出:
结果把 配成了完全平方式:。左式中, 并不出现,但其符号已改变并被移到右边。
下一步是在方程 左边的完全平方中插入变量 ,相应地在右边插入一项。根据恒等式
及
- 两式相加,可得
- (的插入)
与等式(2)相加,得
也就是
现在我们需要寻找一个值,使得方程的右边为完全平方。而这要令二次方程的判别式为零。为此,首先展开完全平方式为二次式:
右边的二次式有三个系数。可以验证,把第二项系数平方,再减去第一与第三项系数之积的四倍,可得到零:
因此,为了使方程(3)的右边为完全平方,我们必须解出下列方程:
把二项式与多项式相乘,
- 两边除以,再把移动到右边,
这是关于的三次方程。两边除以,
转化嵌套的三次方程为降低次数的三次方程
方程是嵌套的三次方程。为了解方程,我们首先用换元法把它转化为减少次数的三次方程:
方程变为
展开,得
合并同类项,得
这是嵌套的三次方程。
记
则此三次方程变为
配成完全平方项
的值已由式给定,现在知道等式的右边是完全平方的形式
-
- 这对于平方根的正负号均成立,只要等式两边取相同的符号。的正负是多余的,因为它将被本页后面马上将提到的另一个消去。
从而它可分解因式为:
- .
- 注:若 则 。如果 则方程为双二次方程,前面已讨论过。
因此方程化为
- .
等式两边各有一个乘起来的完全平方式。两完全平方式相等。
如果两平方式相等,则两平方式的因子也相等,即有下式:
- .
对 合并同类项,得
- .
- 注: 及 中的下标 用来标记它们是相关的。
方程是关于的二次方程。其解为
化简,得
这就是降低次数的四次方程的解,因此原来的四次方程的解为
-
- 注意:两个 来自等式的同一处,并且它们应有相同的符号,而 的符号是无关的。
费拉里方法的概要
给定一个四次方程
其解可用如下方法求出:
-
- 若 ,求解 并代入 ,求得根
- .
- 若 ,求解 并代入 ,求得根
- (平方根任一正负号均可)
- (有三个复根,任一个均可)
-
- 两个 必须有相同的符号, 的符号无关。为得到全部的根,对, ,,,及 及 及 来求。二重根将得出两次,三重根及四重根将得出四次(尽管有,是一种特殊的情况)。方程根的次序取决于立方根 的选取。(见对相对的注)
此即所求。
还有解四次方程的其他方法,或许更好些。费拉里首先发现这些迷宫般的解之一。他所解的方程是
- ,
它已经化为简约的形式。它有一对解,可由上面给出的公式得到。
笛卡兒方法
此四次方程是下列两个二次方程之积:
以及
由于
因此
设
则方程 变为
同时有(未知的)变量和使方程 变为
方程与 相乘,得
把方程 与原来的二次方程比较,可知
及
因此
方程的解为
这两个解中的一个应是所求的实解。
歐拉的方法
寫出式子 ,令 , 把上式改寫為 , 再利用係數 造出另一式子: , 求出 的三根,並用 代表它們。 那麼 的四個根就是
合併來看 二次方程根的樣式為 ,其中 三次方程根的樣式為 ,其中 四次方程根的樣式為 ,其中 延伸這樣式,暗示了五次方程尋根的方向。
其它方法
化为双二次方程
一个例子可见双二次方程。
文獻
- Ferrari's achievement Archived 2012-02-19 at WebCite
- 四次方程的求根公式页面存档备份,存于