五次方程

對於一般的五次方程式

${\displaystyle x^{5}+a_{1}x^{4}+a_{2}x^{3}+a_{3}x^{2}+a_{4}x+a_{5}=0\,}$

可以藉由以下的轉換

${\displaystyle y=x^{4}+b_{1}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{3}x+b_{4}\,}$

得到一個${\displaystyle y\,}$的五次多項式，上述的轉換稱為契爾恩豪森轉換（Tschirnhaus transformation），藉由特別選擇的係數${\displaystyle b_{i}\,}$，可以使${\displaystyle y^{4}\,}$,${\displaystyle y^{3}\,}$,${\displaystyle y^{2}\,}$ 的係數為${\displaystyle 0\,}$，從而得到如下的方程式：

${\displaystyle y^{5}+my+n=0\,}$

以上的化簡方法是由厄蘭·塞缪爾·布靈所發現，後來喬治·傑拉德也獨立發現了此法，因此上式稱為布靈·傑拉德正規式（Bring-Jerrard normal form）。 其步驟如下： 首先令

${\displaystyle x=y-{\frac {a_{1}}{5}}\,}$

可消去四次方項，得到

${\displaystyle y^{5}+ay^{3}+by^{2}+cy+d=0\,}$；

其中，

${\displaystyle a={\frac {5a_{2}-2a_{1}^{2}}{5}}\,}$

${\displaystyle b={\frac {25a_{3}-15a_{1}a_{2}+4a_{1}^{3}}{25}}\,}$

${\displaystyle c={\frac {125a_{4}-50a_{1}a_{3}+15a_{1}^{2}a_{2}-3a_{1}^{4}}{125}}\,}$

${\displaystyle d={\frac {3125a_{5}-625a_{1}a_{4}+125a_{1}^{2}a_{3}-25a_{1}^{3}a_{2}+4a_{1}^{5}}{3125}}\,}$

接下來，令${\displaystyle z=y^{2}+py+q\,}$， 得到

${\displaystyle z^{5}+Pz^{4}+Qz^{3}+Az^{2}+Bz+C=0\,}$，

再令${\displaystyle P=Q=0\,}$， 求得

${\displaystyle p={\frac {-15b+{\sqrt {60a^{3}+225b^{2}-200ac}}}{10a}}\,}$；

${\displaystyle q={2a \over 5}.\,}$

第三步，利用契爾恩豪森想到的方法，令：

${\displaystyle X=z^{4}+b_{1}z^{3}+b_{2}z^{2}+b_{3}z+b_{4}\,}$，

代入

${\displaystyle z^{5}+Az^{2}+Bz+C=0\,}$，

得到

${\displaystyle X^{5}+RX^{4}+SX^{3}+TX^{2}+UX+V=0\,}$，

再令${\displaystyle R=S=T=0\,}$， 則得${\displaystyle b_{4}={\frac {3Ab_{1}+4B}{5}}\,}$， 若令${\displaystyle b_{2}=-{\frac {4Bb_{1}+5C}{3A}}\,}$， 則${\displaystyle b_{1}\,}$，${\displaystyle b_{3}\,}$可由以下兩個方程解得：

${\displaystyle (27A^{4}-160B^{3}+300ABC)b_{1}^{2}+(27A^{3}B-400B^{2}C+375C^{2}A)b_{1}\,+(18A^{2}B^{2}-45A^{3}C-250BC^{2})=0;\,}$

${\displaystyle 675A^{3}b_{3}^{3}+(3375A^{2}Cb_{1}-3600AB^{2}b_{1}-2025A^{4}\,-4500ABC)b_{3}^{2}}$

${\displaystyle +(675A^{3}Bb_{1}^{2}+6000B^{2}Cb_{1}^{2}\,+7200A^{2}B^{2}b_{1}-4050A^{3}Cb_{1}+15000C^{2}Bb_{1}\,\!+9375C^{3}+9675A^{2}BC+2025A^{5})b_{3}+\,}$

${\displaystyle (-4770A^{3}BC-1125A^{2}C^{2}b_{1}^{2}-1500B^{2}C^{2}\,-320AB^{3}b_{1}^{3}-960B^{4}b_{1}^{2}-3843A^{3}B^{2}b_{1}+1485A^{4}Cb_{1}-54A^{5}b_{1}^{3}}$

${\displaystyle -6250AC^{3}-2400B^{3}Cb_{1}-108A^{2}B^{3}-675A^{6}\,-756A^{4}Bb_{1}^{2}-9375AC^{2}Bb_{1}-3900AB^{2}Cb_{1}^{2}-225A^{2}BCb_{1}^{3})=0.\,}$

若以函數的觀點來看，方程

${\displaystyle X^{5}+UX+V=0\,}$

的解有兩個自變數 ${\displaystyle U\,}$, 和 ${\displaystyle V\,}$。

若再令

${\displaystyle X={\sqrt[{4}]{-U}}\xi \,}$

則方程式可以進一步化簡為如下形式：

${\displaystyle \xi ^{5}-\xi +t=0\,}$

它的解 ${\displaystyle \xi \,}$ 是單一變數 ${\displaystyle t\,}$ 的函數。

雖然一般的五次方程不存在根式解，但是對於某些特殊的五次方程，滿足某些條件後還是有根式解的。

型式3

${\displaystyle {a^{2}x^{5}+5abx^{3}+5b^{2}x+ac=0}}$，当${\displaystyle a\neq 0}$时，

${\displaystyle {x_{1}={\sqrt[{5}]{-{\frac {c}{2a}}+{\sqrt {\left({\frac {c}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{a}}\right)^{5}}}}}+{\sqrt[{5}]{-{\frac {c}{2a}}-{\sqrt {\left({\frac {c}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{a}}\right)^{5}}}}}}\,}$

${\displaystyle {x_{2}={\frac {-1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{\rm {i}}}{4}}{\sqrt[{5}]{-{\frac {c}{2a}}+{\sqrt {\left({\frac {c}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{a}}\right)^{5}}}}}+{\frac {-1+{\sqrt {5}}-{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{\rm {i}}}{4}}{\sqrt[{5}]{-{\frac {c}{2a}}-{\sqrt {\left({\frac {c}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{a}}\right)^{5}}}}}}\,}$

${\displaystyle {x_{3}={\frac {-1-{\sqrt {5}}+{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{\rm {i}}}{4}}{\sqrt[{5}]{-{\frac {c}{2a}}+{\sqrt {\left({\frac {c}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{a}}\right)^{5}}}}}+{\frac {-1-{\sqrt {5}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{\rm {i}}}{4}}{\sqrt[{5}]{-{\frac {c}{2a}}-{\sqrt {\left({\frac {c}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{a}}\right)^{5}}}}}}\,}$

${\displaystyle {x_{4}={\frac {-1-{\sqrt {5}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{\rm {i}}}{4}}{\sqrt[{5}]{-{\frac {c}{2a}}+{\sqrt {\left({\frac {c}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{a}}\right)^{5}}}}}+{\frac {-1-{\sqrt {5}}+{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{\rm {i}}}{4}}{\sqrt[{5}]{-{\frac {c}{2a}}-{\sqrt {\left({\frac {c}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{a}}\right)^{5}}}}}}\,}$

${\displaystyle {x_{5}={\frac {-1+{\sqrt {5}}-{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{\rm {i}}}{4}}{\sqrt[{5}]{-{\frac {c}{2a}}+{\sqrt {\left({\frac {c}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{a}}\right)^{5}}}}}+{\frac {-1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{\rm {i}}}{4}}{\sqrt[{5}]{-{\frac {c}{2a}}-{\sqrt {\left({\frac {c}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{a}}\right)^{5}}}}}}\,}$

• 方程式論
• 布靈根式