圓環坐標系

每一個 ${\displaystyle \sigma }$-坐標曲面都是包含了焦圓，而不同心的圓球面。圓球半徑為

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z-a\cot \sigma )^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}}$ 。

正值 ${\displaystyle \sigma }$ 的圓球面的圓心都在正 z-軸；而負值 ${\displaystyle \sigma }$ 的圓球面的圓心則在負 z-軸。當絕對值 ${\displaystyle \left|\sigma \right|}$ 增加時，圓球半徑會減小，圓心會靠近原點。當圓心與原點同點時，${\displaystyle \left|\sigma \right|}$ 達到最大值 ${\displaystyle \pi /2}$ 。

每一個 ${\displaystyle \tau }$-坐標曲面都是不相交的環面。每一個環面都包圍著焦圓。環面半徑為

${\displaystyle z^{2}+\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a\coth \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}}$ 。

${\displaystyle \tau =0}$ 曲線與 z-軸同軸。當 ${\displaystyle \tau }$ 值增加時，圓球面的半徑會減少，圓球心會靠近焦點。

圖 3 ）點 P 的坐標 ${\displaystyle \sigma }$ 與 ${\displaystyle \tau }$ 的幾何詮釋。在一個方位角 ${\displaystyle \phi }$ 為常數的平面裏，圓環坐標系變成雙極坐標系。${\displaystyle {\overline {F_{1}P}}}$ 與 ${\displaystyle {\overline {F_{2}P}}}$ 的夾角 ${\displaystyle \angle F_{1}PF_{2}}$ 的弧度是 ${\displaystyle \sigma }$ 。${\displaystyle F_{1}P}$ 與 ${\displaystyle F_{2}P}$ 的比例的自然對數是 ${\displaystyle \tau }$ 。${\displaystyle \sigma }$ 與 ${\displaystyle \tau }$ 的等值曲線都是圓圈，分別以紅色與藍色表示。兩條等值曲線以直角相交（以洋紅色表示）。

${\displaystyle \tau }$ 是 ${\displaystyle d_{1}}$ 與 ${\displaystyle d_{2}}$ 的比例的自然對數：

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}$ 。

圓環坐標 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}$ 可以用直角坐標 ${\displaystyle (x,\ y,\ z)}$ 來表達。方位角 ${\displaystyle \phi }$ 的公式為

${\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{x}}}$ 。

點 P 與兩個焦點之間的距離是

${\displaystyle d_{1}^{2}=({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+a)^{2}+z^{2}}$ 、

${\displaystyle d_{2}^{2}=({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a)^{2}+z^{2}}$ 。

如圖 3 ，${\displaystyle \angle F_{1}PF_{2}}$ 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 ${\displaystyle {\overline {F_{1}P}}}$ 與 ${\displaystyle {\overline {F_{2}P}}}$ 的夾角。這夾角的弧度是 ${\displaystyle \sigma }$ 。用餘弦定理來計算：

${\displaystyle \cos \sigma ={\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-4a^{2}}{2d_{1}d_{2}}}}$ 。

圓環坐標 ${\displaystyle \sigma }$ 與 ${\displaystyle \tau }$ 的標度因子相等：

${\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$ 。

方位角的標度因子為

${\displaystyle h_{\phi }={\frac {a\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$ 。

無窮小體積元素是

${\displaystyle dV={\frac {a^{3}\sinh \tau }{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}}d\sigma d\tau d\phi }$ 。

拉普拉斯算子是

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}{a^{2}\sinh \tau }}\left[{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sinh \tau \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}\right]}$ 。

其它微分算子，像 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ 、${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ，都可以用 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)}$ 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。