多極展開

任意函數 ${\displaystyle f(\mathbf {r} ')}$ 在原點 ${\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {O} }$ 的泰勒級數為

${\displaystyle f(\mathbf {r} ')=f(\mathbf {O} )+\mathbf {r} '\cdot \nabla 'f(\mathbf {O} )+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha =1}^{3}\sum _{\beta =1}^{3}r'_{\alpha }r'_{\beta }{\frac {\partial ^{2}f(\mathbf {O} )}{\partial r'_{\alpha }\partial r'_{\beta }}}+\dots }$ ；

其中，${\displaystyle \nabla '}$ 是對於 ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ 的偏微分。

設定 ${\displaystyle f(\mathbf {r} ')={\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}}$ ，則 ${\displaystyle f(\mathbf {r} ')}$ 對於 ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ 的偏微分為

${\displaystyle {\frac {\partial f(\mathbf {r} ')}{\partial r'_{\alpha }}}={\frac {(r_{\alpha }-r'_{\alpha })}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}$ 、

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f(\mathbf {r} ')}{\partial r'_{\alpha }\partial r'_{\beta }}}={\frac {3(r_{\alpha }-r'_{\alpha })(r_{\beta }-r'_{\beta })}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{5}}}-{\frac {\delta _{\alpha \beta }}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}$ ；

其中，${\displaystyle \delta _{\alpha \beta }}$ 是克罗内克记号。

所以 ${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}}$ 在原點 ${\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {O} }$ 的泰勒級數為

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}&={\frac {1}{r}}+{\frac {\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} '}{r^{3}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha =1}^{3}\sum _{\beta =1}^{3}\left({\frac {3r_{\alpha }r_{\beta }}{r^{5}}}-{\frac {\delta _{\alpha \beta }}{r^{3}}}\right)r'_{\alpha }r'_{\beta }+\dots \\&={\frac {1}{r}}+{\frac {\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} '}{r^{3}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha =1}^{3}\sum _{\beta =1}^{3}\left({\frac {3r_{\alpha }r_{\beta }r'_{\alpha }r'_{\beta }-r^{2}r'_{\alpha }r'_{\beta }\delta _{\alpha \beta }}{r^{5}}}\right)+\dots \\&={\frac {1}{r}}+{\frac {\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} '}{r^{3}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha =1}^{3}\sum _{\beta =1}^{3}\left({\frac {3r_{\alpha }r_{\beta }r'_{\alpha }r'_{\beta }-r_{\alpha }r_{\beta }r^{\prime 2}\delta _{\alpha \beta }}{r^{5}}}\right)+\dots \\\end{aligned}}}$ 。

將這展開式代入電勢的方程式，則可得到

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V'} }\left[{\frac {1}{r}}+{\frac {\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} '}{r^{3}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha =1}^{3}\sum _{\beta =1}^{3}{\frac {r_{\alpha }r_{\beta }(3r'_{\alpha }r'_{\beta }-r^{\prime 2}\delta _{\alpha \beta })}{r^{5}}}+\dots \right]\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$ 。

總電荷（電單極矩） ${\displaystyle q}$ 、電偶極矩 ${\displaystyle \mathbf {p} }$ 、電四極矩（-{ electric quadrupole moment}-） ${\displaystyle Q_{\alpha \beta }}$ 分別以方程式定義為[1]

${\displaystyle q{\stackrel {def}{=}}\ \int _{\mathbb {V'} }\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$ 、

${\displaystyle \mathbf {p} {\stackrel {def}{=}}\ \int _{\mathbb {V'} }\mathbf {r} '\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$ 、

${\displaystyle Q_{\alpha \beta }{\stackrel {def}{=}}\ \int _{\mathbb {V'} }(3r'_{\alpha }r'_{\beta }-r^{\prime 2}\delta _{\alpha \beta })\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$ 。

則電勢的電單極矩、電偶極矩、電四極矩等等「笛卡兒多極矩」項目的總貢獻為

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{r}}+{\frac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} }{r^{3}}}+{\frac {1}{2r^{5}}}\sum _{\alpha =1}^{3}\sum _{\beta =1}^{3}Q_{\alpha \beta }r_{\alpha }r_{\beta }+\dots \right)}$ 。

場位置與源位置之間距離的倒數，${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}}$ ，可以用球諧函數 ${\displaystyle Y_{\ell m}}$ 展開為[1]

${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {4\pi }{2\ell +1}}\ {\frac {r^{\prime \ell }}{r^{\ell +1}}}Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')Y_{\ell m}(\theta ,\phi ),\qquad r'<r}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {r} }$ 與 ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ 的球坐標分別為${\displaystyle (r,\theta ,\phi )}$ 與 ${\displaystyle (r',\theta ',\phi ')}$ 。

將這展開式代入電勢的方程式，則可得到

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{\epsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}{((2\ell +1)r^{\ell +1}}}\int _{\mathbb {V'} }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')r^{\prime \ell }\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$ 。

電荷分佈的球多極矩 ${\displaystyle q_{\ell m}}$ 以方程式定義為

${\displaystyle q_{\ell m}{\stackrel {def}{=}}\ \int _{\mathbb {V'} }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')r^{\prime \ell }\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$ 。

則電勢可以以球多極矩表示為

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{\epsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {q_{\ell m}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}{(2\ell +1)r^{\ell +1}}}}$ 。

注意到 ${\displaystyle q_{\ell (-m)}=(-1)^{m}q_{\ell m}^{*}}$ 。以下列出幾個最低階的球多極矩的表達式，以及與笛卡兒多極矩之間的關係[1]：

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{00}&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{\mathbb {V'} }\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '&&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\ q\\q_{11}&=-{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\int _{\mathbb {V'} }r'\sin {\theta '}\ e^{-i\phi '}\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '&&=-{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\ (p_{x}-ip_{y})\\q_{10}&={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\int _{\mathbb {V'} }r'\cos {\theta }\ \rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '&&=-{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\ p_{z}\\q_{22}&={\sqrt {\frac {15}{32\pi }}}\int _{\mathbb {V'} }r^{\prime 2}\sin ^{2}{\theta '}\ e^{-2i\phi '}\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '&&={\sqrt {\frac {15}{288\pi }}}\ (Q_{11}-2iQ_{12}-Q_{22})\\q_{21}&=-{\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\int _{\mathbb {V'} }r^{\prime 2}\sin {\theta '}\cos {\theta '}\ e^{-i\phi '}\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '&&=-{\sqrt {\frac {15}{72\pi }}}\ (Q_{13}-iQ_{33})\\q_{20}&={\sqrt {\frac {5}{16\pi }}}\int _{\mathbb {V'} }r^{\prime 2}(3\cos ^{2}{\theta '}-1)\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '&&={\sqrt {\frac {5}{16\pi }}}\ Q_{33}\end{aligned}}}$ 。

對於多極展開式的每一階 ${\displaystyle \ell }$ ，笛卡兒多極展開會得到 ${\displaystyle (\ell +1)(\ell +2)/2}$ 個笛卡兒多極矩，而球多極展開會得到 ${\displaystyle 2\ell +1}$ 個球多極矩。這是因為兩種展開各自具有不同的旋轉變換屬性。笛卡兒多極矩是可約的（）；而球多極矩則是不可約的，這種分解能夠得到旋轉群的不可約表示。

在多極展開式裏，不等於零的最低階多極矩，其數值與原點的選擇無關。例如，對於在 ${\displaystyle \mathbb {V'} }$ 內部、位置為 ${\displaystyle \mathbf {r} '_{0}}$ 的單獨點電荷，電荷密度可以寫為 ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')=q\delta (\mathbf {r} '-\mathbf {r} '_{0})}$ 。這單獨點電荷的電單極矩為 ${\displaystyle \int _{\mathbb {V'} }q\delta (\mathbf {r} '-\mathbf {r} '_{0})\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '=q}$ ，與原點位置無關。

對於在 ${\displaystyle \mathbb {V'} }$ 內部、位置分別為 ${\displaystyle \mathbf {r} '_{1}}$ 、${\displaystyle \mathbf {r} '_{2}}$ 的兩個異電性、同電量的點電荷，電荷密度可以寫為 ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')=q[\delta (\mathbf {r} '-\mathbf {r} '_{1})-\delta (\mathbf {r} '-\mathbf {r} '_{2})]}$ 。這單獨點電荷的電單極矩為 ${\displaystyle \int _{\mathbb {V'} }q[\delta (\mathbf {r} '-\mathbf {r} '_{1})-\delta (\mathbf {r} '-\mathbf {r} '_{2})]\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '=0}$ 。最低階多極矩為電偶極矩 ${\displaystyle \int _{\mathbb {V'} }\mathbf {r} 'q[\delta (\mathbf {r} '-\mathbf {r} '_{1})-\delta (\mathbf {r} '-\mathbf {r} '_{2})]\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '=q(\mathbf {r} '_{1}-\mathbf {r} '_{2})}$ 。這電偶極矩與原點位置無關，與兩個點電荷之間的相對位置有關。