多项式除法

多项式除法是代数中的一种算法，用一个同次或低次的多项式去除另一个多项式。它可以很容易地手算，因为它将一个相对复杂的除法问题分解成更小的一些问题。

范例

计算 ${\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}$

把被除式、除式按某个字母作降幂排列，缺项补零，写成以下形式：

{\frac {x^{3}-12x^{2}+0x-42}{x-3}}

然后商和余数可以这样计算：

将分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为x），得到首商，写在横线之上( $x^{3}\div x=x^{2}$ ).
${\begin{matrix}x^{2}\\\qquad \qquad \quad x-3{\overline {)x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\end{matrix}}$
将分母乘以首商，乘积写在分子前两项之下（同类项对齐）（ $x^{2}\cdot (x-3)=x^{3}-3x^{2}$ ）。
${\begin{matrix}x^{2}\\\qquad \qquad \quad x-3{\overline {)x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\qquad \;\;x^{3}-3x^{2}\end{matrix}}$
从分子的相应项中减去刚得到的乘积（消去相等项，把不相等的项结合起来），得到第一餘式，写在下面。（ $(x^{3}-12x^{2})-(x^{3}-3x^{2})=-12x^{2}+3x^{2}=-9x^{2}$ ）然后，将分子的下一项“拿下来”。
${\begin{matrix}x^{2}\\\qquad \qquad \quad x-3{\overline {)x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\qquad \;\;{\underline {x^{3}-3x^{2}}}\\\qquad \qquad \qquad \quad \;-9x^{2}+0x\end{matrix}}$
把第一餘式当作新的被除式，重复前三步，得到次商與第二餘式（直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式）
${\begin{matrix}\;x^{2}-9x\\\qquad \quad x-3{\overline {)x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\;\;{\underline {\;\;x^{3}-\;\;3x^{2}}}\\\qquad \qquad \quad \;-9x^{2}+0x\\\qquad \qquad \quad \;{\underline {-9x^{2}+27x}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -27x-42\end{matrix}}$
重复第四步，得到三商與第三餘式。餘式小於除式次數，運算結束。
${\begin{matrix}\qquad \quad \;\,x^{2}\;-9x\quad -27\\\qquad \quad x-3{\overline {)x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\;\;{\underline {\;\;x^{3}-\;\;3x^{2}}}\\\qquad \qquad \quad \;-9x^{2}+0x\\\qquad \qquad \quad \;{\underline {-9x^{2}+27x}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -27x-42\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\underline {-27x+81}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;-123\end{matrix}}$

横线之上的多项式即为商，而剩下的 (−123) 就是余数。

{\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}=\underbrace {x^{2}-9x-27} _{q(x)}\underbrace {-{\frac {123}{x-3}}} _{r(x)/g(x)}

算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形，即所有 $x$ 被替换为10的情形。

除法变换

使用多项式长除法可以将一个多项式写成除数-商的形式（经常很有用）。考虑多项式 $P(x)$ , $D(x)$ （(D)的次数 < (P)的次数）。然后，对某个商多项式 $Q(x)$ 和余数多项式 R(x) （(R)的系数 < (D)的系数），

{\frac {P(x)}{D(x)}}=Q(x)+{\frac {R(x)}{D(x)}}\implies P(x)=D(x)Q(x)+R(x)

这种变换叫做除法变换，是从算数等式 ${\mathrm {dividend} =\mathrm {divisor} \times \mathrm {quotient} +\mathrm {remainder} }$ [1] 得到的。

应用

多项式的因式分解

有时某个多项式的一或多个根已知，可能是使用有理数根定理得到的。如果一个 $n$ 次多项式 $P(x)$ 的一个根 $r$ 已知，那么 $P(x)$ 可以使用多项式长除法因式分解为 $(x-r)Q(x)$ 的形式，其中 $Q(x)$ 是一个 $n-1$ 次的多项式。简单来说， $Q(x)$ 就是长除法的商，而又知 $r$ 是 $P(x)$ 的一个根、余式必定为零。

相似地，如果不止一个根是已知的，比如已知 $r$ 和 $s$ 这两个，那么可以先从 $P(x)$ 中除掉线性因子 $x-r$ 得到 $Q(x)$ ，再从 $Q(x)$ 中除掉 $x-s$ ，以此类推。或者可以一次性地除掉二次因子 $x^{2}-(r+s)x+rs$ 。

使用这种方法，有时超过四次的多项式的所有根都可以求得，虽然这并不总是可能的。例如，如果有理数根定理可以用来求得一个五次方程的一个（比例）根，它就可以被除掉以得到一个四次商式；然后使用四次方程求根的显式公式求得剩余的根。

寻找多项式的切线

多项式长除法可以用来在给定点上查找给定多项式的切线方程。[2] 如果 $R(x)$ 是 ${\frac {P(x)}{(x-r)^{2}}}$ 的余式——也即，除以 $x^{2}-2rx+r^{2}$ ——那么在 $x=r$ 处 $P(x)$ 的切线方程是 $y=R(x)$ ，不论 $r$ 是否是 $P(x)$ 的根。

参见

多项式余数定理
综合除法
欧几里得整环
Gröbner basis
多项式最大公因子

引用

S. Barnard. . READ BOOKS. 2008: 24. ISBN 1443730866.
Strickland-Constable, Charles, "A simple method for finding tangents to polynomial graphs", Mathematical Gazette 89, November 2005: 466-467.

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[1] S. Barnard. . READ BOOKS. 2008: 24. ISBN 1443730866.

[2] Strickland-Constable, Charles, "A simple method for finding tangents to polynomial graphs", Mathematical Gazette 89, November 2005: 466-467.