奇点 (数学)

在數學中，奇異點（英語：）或，是數學物件中無法處理的點。一般來說，可以分成兩種狀況：

這個點的值在數學上沒有定義。例如，一個除以零的點。函數 $f(x)=1/x$ 在 $x=0$ 的點，是一個奇異點；這個點有個性質－它趋向于無限。然而，在數學中，無限的值是沒有定義的。在物理中，也儘量避免或除去導致無限的點，雖然在宇宙学中有引力奇點（黑洞奇點）。
或者，在某方面來說，這個點破壞了該數學物件的整體一致性。這個點被稱為病態的，是良态的反義。一般的例子是：
- 光滑的曲線或平面（光滑函数）上的尖點，它破壞了該函數的可微性。
- 連續的曲線中一個斷掉的點，它破壞了該曲線的連續性。

不可微的點

就可微性來說：

曲線 $y^{2}=x$ 在 $x=0$ 的點是該曲線的奇異點，因為該點的切線是垂直的。垂直切線（）的斜率是無限，所以該點不可微。
绝对值函數 $f(x)=\left|x\right|$ 在 $x=0$ 的點是該函數的奇異點，因為在該點上無法決定斜率，所以該點不可微。
代數集合 $\{(x,y):\left|x\right|=\left|y\right|\}$ 在 $x=0$ 的點是奇異點，因為該點不可微。

不連續的點

在實變數分析中，奇點是不连续点，或是导数的不連續點。

複分析

在複分析中，有四类奇点，如下所述。假定U為複數集C的一個開子集，a是U內的一元素，而f為定義在去心鄰域U \ {a}下的復可微函數。

孤立奇點：假定f即使定義在U \ {a}，但未定義於a。
- 可去奇點
- 極點
- 本性奇點
分支點：扼要的說，支點通常是多值函數的支割线的結果，諸如 ${\sqrt {z}}$ 或 $\log {z}$ 定義在確實的範圍內，使得它的呈現如同單值函數。
非孤立奇點

參見

漸近線
連續
定義與未定義
無限
微分方程式的奇解
奇異點 (幾何)

外部連結

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