布莱克-舒尔兹模型

對於有效期內不派發紅利的歐式期權，其價格遵從以下偏微分方程：

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}$

把方程重寫成左右兩邊：

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}=rV-rS{\frac {\partial V}{\partial S}}}$

左方代表期權的時間值及與即期價格的凸性。右方代表期權長倉的無風險回報及${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial S}}}$股相關資產短倉。

利用以下约束条件，可解認購期權（Call Option）的理論值。

${\displaystyle {\begin{aligned}C(0,t)&=0{\text{ for all }}t\\C(S,t)&\rightarrow S{\text{ as }}S\rightarrow \infty \\C(S,T)&=\max\{S-K,0\}\end{aligned}}}$

認購期權的理論價格是：

${\displaystyle \displaystyle C=S\times N(d_{1})-e^{-r\times T}\times L\times N(d_{2})}$

其中：

${\displaystyle d_{1}={\begin{smallmatrix}\displaystyle {\frac {\ln \displaystyle {\frac {S}{L}}+\left(r+0.5\times \sigma ^{2}\right)\times {T}}{\sigma \times {\sqrt {T}}}}\end{smallmatrix}}}$

${\displaystyle d_{2}={\begin{smallmatrix}\displaystyle d_{1}-\sigma \times {\sqrt {T}}\end{smallmatrix}}}$

ln：自然對數；

C：選擇權初始合理价格；

L：選擇權交割价格；

S：交易所金融资产即期價格；

T：選擇權有效期；

r：连续复利计无风险利率Ｈ；

${\displaystyle \sigma ^{2}}$：年度化方差；

N()：正態分佈变量的累积分布函数。