戴德金η函數

戴德金η函數（Dedekind eta function）是定義在上半平面的全純函數，這是權1/2的模形式之一例。

η函數的描繪

對每個屬於上半平面的複數${\displaystyle \tau }$，置${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$，則η函數表為

${\displaystyle \eta (\tau )=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})}$

η函數滿足以下函數方程：

• ${\displaystyle \eta (\tau +1)=\exp({\frac {2\pi i}{24}})\eta (\tau )}$
• ${\displaystyle \eta (-1/\tau )={\sqrt {\frac {\tau }{i}}}\eta (\tau )}$

此處的根號是方根函數在右半平面的解析延拓

${\displaystyle re^{i\theta }\mapsto r^{1/2}e^{i\theta /2},\quad |\theta |<\pi /2}$。

一般而言，對${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {Z} ,ab-cd=1}$，我們有

${\displaystyle \eta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\epsilon (a,b,c,d)\left(-i(c\tau +d)\right)^{1/2}\eta (z)}$

其中的自守因子${\displaystyle \epsilon }$定為

${\displaystyle \epsilon (a,b,c,d)=\exp i\pi \left({\frac {a+d}{12c}}+s(-d,c)\right)}$。

而${\displaystyle s(h,k)}$為戴德金和

${\displaystyle s(h,k)=\sum _{n=1}^{k-1}{\frac {n}{k}}\left({\frac {hn}{k}}-\left\lfloor {\frac {hn}{k}}\right\rfloor -{\frac {1}{2}}\right)}$

由此函數方程可知η是權1/2的模形式，因此可由η構造更多的模形式，例如魏爾施特拉斯的模判別式即可表為

${\displaystyle \Delta (\tau )=(2\pi )^{12}\eta (\tau )^{24}}$。

事實上，由函數方程可知${\displaystyle \eta ^{24}}$是權12的模形式，而這類模形式構成複一維向量空間，比較傅里葉展開的常數項，上式立可得證。

拉馬努金有一個著名的猜想：在傅立葉展開式中，對任一素數，的係數的絕對值恆。此猜想最後由德利涅證明。

上述諸例點出了模形式與若干古典數論問題的聯繫，例如以二次型表示整數以及整數分拆問題。赫克算子（英語：Hecke operator）理論闡釋了模形式與數論的關鍵聯繫，同時也聯繫了模形式與表示理論。