戴德金和

定義這個函數，首先要定義 $((x))$ ：若 $x$ 是整數， $((x))=0$ ，否則為 $x-[x]-0.5$ ，其中 $[x]$ 是最大而又不大於 $x$ 的整數。

戴德金和（Dedekind sum）是數學家戴德金在跟戴德金η函數有關的工作中提出的。

對於非零整數 $h,k$ ，戴德金和 $s(h,k)$ 定義為 $s(h,k)=\sum _{\mu =0}^{k-1}(({\frac {\mu }{k}}))(({\frac {h\mu }{k}}))$

若 $h,k$ 互質且均大於0，有 $s(h,k)={\frac {1}{4k}}\sum _{\mu =1}^{k-1}\cot \left({\frac {\pi h\mu }{k}}\right)\cot \left({\frac {\pi \mu }{k}}\right)$

公式

有公因數時： $s(ch,ck)=s(h,k)$
Petersson-Knopp恆等式： $\sum _{d|n}\sum _{m=0}^{d-1}s\left({\frac {n}{d}}h+mk,kd\right)=\sigma (n)s(h,k)$ ， $\sigma (n)$ 為因數函數，是 $n$ 的正因數之和。其中一個較易證明的特例為當 $p$ 為質數， $(p+1)s(h,k)=s(ph,k)+\sum _{m=0}^{p-1}s(h+mk,pk)$
周期性： $s(nk+h,k)=s(h,k)$
若 $pq\equiv 1{\pmod {k}}$ ， $s(p,k)=s(q,k)$ 。
$s(1,k)={\frac {(k-1)(k-2)}{12k}}$
若 $k$ 為奇數， $s(2,k)={\frac {(k-1)(k-5)}{24k}}$
對於 $k\equiv 1{\pmod {h}}$ ， $12hks(h,k)=(k-1)(k-(h^{2}+1))$
對於 $k\equiv 2{\pmod {h}}$ ， $12hks(h,k)=(k-2)(k-(h^{2}+1)/2)$
對於 $k\equiv -1{\pmod {h}}$ ， $12hks(h,k)=k^{2}+(h^{2}-6h+2)k+(h^{2}+1)$
互反和：

s(h,k)+s(k,h)=-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}\left({\frac {h}{k}}+{\frac {1}{hk}}+{\frac {k}{h}}\right)

參考

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