數系

皮亞諾〔Giuseppe Peano〕替自然數建立以下的定義：

1. 自然數中有0。
2. 每一個自然數都必須有下一個自然數，並以S(a)表示。
3. 自然數0前沒有自然數。
4. 不同的自然數的下一個自然數都不同，即a=b即代表S(a)=S(b)，相反亦成立。
5. 若一個特性0擁有，而往後的自然數都擁有，這特性則視為自然數擁有。

根據這五個定義，所有自然數的特性皆可推斷。而數一則以1=S(0)表示。

數系皆擁有等價關係，即：

1. 自反性：${\displaystyle \forall x\in A,~~(x,x)\in R}$
2. 对称性：${\displaystyle \forall x,y\in A,~~(x,y)\in R~~\implies ~~(y,x)\in R}$
3. 传递性：${\displaystyle \forall x,y,z\in A,~~~((x,y)\in R\wedge (y,z)\in R)~~\implies ~~(x,z)\in R}$

定義下自然數可進行運算，以下為加法的定義：

a + 0 = a

a + S(b) = S(a + b)

〔這暗示S(a) = S(a + 0) = a + S(0) = a + 1，所以以下S(x)皆會寫成x + 1〕

以下為乘法的定義：

a × 0 = 0

a × (b + 1) = a × b + a

〔a × b亦可寫成a ‧ b或是ab〕

以下為指數的定義：

a⁰ = 1

a^{b + 1} = a^b × a

〔a^b亦會寫成a ^ b或是a ** b，特別是當上標不可使用的時候〕

自然數可以以下方式擴展成整數，每一個非零的自然數a，就會出現一個整數-a，而它不是一個自然數。特別情形-0則定義為自然數0。後續函數亦可以S(-a) = - S(a - 1)的法則擴展至整數。

加法將以以下方法定義：

• 若a及b皆自然數，則-a + -b = -(a + b)。
• 若a為整數，則a + 0 = a。
• 若b為一非零整數，則a + b = (a - 1) + S(b)。

減法定義與加法相同，即a - b = a + - b。

乘法定義與自然數定義相同，但加入負負得正，負正得負的理念：

• 若a及b皆自然數，則a × -b = -a × b = -(ab)
• 若a及b皆自然數，則-a × -b = a × b = ab

若某複數a+bi中的b若等於0,此複數就為實數。

若某複數a+bi中的b不等於0,就為虛數。 此外，若a+bi中的a等於0,就為純虛數。