斯图尔特定理

斯图尔特定理（英語：），或译史都華定理、斯特瓦尔特定理、斯图沃特定理，又稱為阿波羅尼奧斯定理。它說明：在三角形 $ABC$ 的邊 $BC$ 上任意取一點 $P$ ，則：

{\overline {PC}}\ {\overline {AB}}^{2}+{\overline {PB}}\ {\overline {AC}}^{2}=({\overline {PB}}+{\overline {PC}}){\overline {PA}}^{2}+{\overline {PC}}\ {\overline {PB}}^{2}+{\overline {PB}}\ {\overline {PC}}^{2}

。

斯图尔特定理

該定理由蘇格蘭數學家馬修·斯圖爾特在1746年發表。這個定理以他的名字命名，來紀念他的貢獻。[1]

证明

设a与p的交点为P。对互补角APB和APC应用余弦定理，可得：

b^{2}=p^{2}+y^{2}-2py\cos {\theta }\,

c^{2}=p^{2}+x^{2}+2px\cos {\theta }.\,

把第一个等式乘以x，把第二个等式乘以y ：

xb^{2}=xp^{2}+xy^{2}-2pxy\cos {\theta }\,

yc^{2}=yp^{2}+yx^{2}+2pxy\cos {\theta }.\,

两式相加，得：

xb^{2}+yc^{2}=(x+y)p^{2}+xy(x+y),\,

证毕。

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