施图姆-刘维尔理论

在数学及其应用中，以雅克·夏尔·弗朗索瓦·施图姆（1803–1855）和约瑟夫·刘维尔（1809–1882）的名字命名的施图姆-刘维尔方程是指二阶线性实微分方程：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[p(x){\frac {\mathrm {d} y(x)}{\mathrm {d} x}}\right]+\lambda w(x)y(x)-q(x)y(x)=0}$

其中函数${\displaystyle p(x)}$，${\displaystyle w(x)}$，${\displaystyle q(x)}$均为已知函数；${\displaystyle y(x)}$为待求解函数，称为解；${\displaystyle \lambda }$是一个未定常数。${\displaystyle w(x)}$又记为${\displaystyle \rho (x)}$，称为权函数。

在一个正则的施图姆-刘维尔（S-L）本征值问题中，在有界闭区间[a,b]上，三个系数函数${\displaystyle p(x),w(x),q(x)}$应满足以下性质：

• ${\displaystyle p(x)>0,w(x)>0}$；
• ${\displaystyle p(x),p'(x),w(x),q(x)}$ 均连续；
• ${\displaystyle y(x)}$ 满足边界条件 ${\displaystyle \alpha _{1}y(a)+\alpha _{2}y'(a)=0}$ 及 ${\displaystyle \beta _{1}y(b)+\beta _{2}y'(b)=0}$（${\displaystyle \alpha _{1}^{2}+\alpha _{2}^{2}>0,\beta _{1}^{2}+\beta _{2}^{2}>0}$）。

只有一些恰当的${\displaystyle \lambda }$能够使得方程拥有满足上述条件的非平凡解（非零解）。这些${\displaystyle \lambda }$称为方程的特徵值，对应的非平凡解称为特徵函数，而特徵函数的集合则称为特徵函数族。史、刘二人在一些由边界条件确定的函数空间中，引入埃尔米特算子，形成了施图姆-刘维尔理论。这个理论提出了特徵值的存在性和渐近性，以及特徵函数族的正交完备性。这个理论在应用数学中十分重要，尤其是在使用分离变量法求解偏微分方程的时候。

施图姆-刘维尔理论提出：

• 施图姆-刘维尔特徵值问题，存在无限多个实数特徵值，而且可以排序为：

${\displaystyle \lambda _{1}<\lambda _{2}<\lambda _{3}<\cdots <\lambda _{n}<\cdots ,\lim _{n\rightarrow \infty }\lambda _{n}=\infty }$；

• 对于每一个特徵值${\displaystyle \lambda _{n}}$都有唯一的（已被归一化的）特徵函数${\displaystyle y_{n}(x)}$，且${\displaystyle y_{n}(x)}$在开区间(a,b)上有且仅有n-1个零点。其中${\displaystyle y_{n}(x)}$称为满足上述施图姆-刘维尔特徵值问题的第n个基本解；
• 已归一化的特徵函数族在希尔伯特空间${\displaystyle L^{2}([a,b],w(x)\mathrm {d} x)}$上有正交性和完备性，形成一组正交基：

${\displaystyle \int _{a}^{b}y_{n}(x)y_{m}(x)w(x)\,\mathrm {d} x=\delta _{mn}}$

其中${\displaystyle \delta _{mn}}$是克罗内克函数。