旋轉不變性

假設一個量子系統的位勢為球對稱位勢 ${\displaystyle V(r)}$ ，其哈密頓算符 ${\displaystyle H}$ 可以表示為

${\displaystyle H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(r)}$ ；

其中，${\displaystyle \hbar }$ 是約化普朗克常數，${\displaystyle m}$ 是質量，${\displaystyle r}$ 是徑向距離。

現在，以 z-軸為旋轉軸，旋轉此系統的 x-軸與 y-軸 ${\displaystyle \theta }$ 角弧，則新直角坐標 ${\displaystyle \mathbf {r} '=(x',\,y',\,z')}$ 與舊直角坐標的關係式為

${\displaystyle x'=x\cos \theta -y\sin \theta }$ 、

${\displaystyle y'=x\sin \theta +y\cos \theta }$ 、

${\displaystyle z'=z}$ 。

偏導數為

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x'}}=\cos \theta {\frac {\partial }{\partial x}}-\sin \theta {\frac {\partial }{\partial y}}}$ 、

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y'}}=\sin \theta {\frac {\partial }{\partial x}}+\cos \theta {\frac {\partial }{\partial y}}}$ 、

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z'}}={\frac {\partial }{\partial z}}}$ 。

那麼，導數項目具有旋轉不變性：

${\displaystyle \nabla '^{2}=\left({\frac {\partial }{\partial x'}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial }{\partial y'}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial }{\partial z'}}\right)^{2}=\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial }{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial }{\partial z}}\right)^{2}=\nabla ^{2}}$ 。

由於徑向距離具有旋轉不變性：

${\displaystyle r'={\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=r}$ ，

旋轉之後，新的哈密頓算符 ${\displaystyle H'}$ 是

${\displaystyle H'=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla '^{2}+V(r')=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(r)=H}$ 。

所以，球對稱位勢量子系統的哈密頓算符具有旋轉不變性。

假設一個量子系統的位勢為球對稱位勢 ${\displaystyle V(r)}$ ，則哈密頓算符具有旋轉不變性。定義旋轉算符 ${\displaystyle R}$ 為一個對於 z-軸的無窮小旋轉 ${\displaystyle \delta \theta }$ 。則正弦函數與餘弦函數可以分別近似為

${\displaystyle \sin \delta \theta \approx \delta \theta }$ 、

${\displaystyle \cos \delta \theta \approx 1}$ 。

新直角坐標與舊直角坐標之間的關係式為

${\displaystyle x'\approx x-y\delta \theta }$ 、

${\displaystyle y'\approx x\delta \theta +y}$ 、

${\displaystyle z'=z}$ 。

將 ${\displaystyle R}$ 作用於波函數 ${\displaystyle \psi (x,\,y,\,z)}$ ，

${\displaystyle R\psi (x,\,y,\,z)=\psi (x',\,y',\,z')\approx \psi (x,\,y,\,z)+{\frac {i}{\hbar }}\delta \theta L_{z}\psi (x,\,y,\,z)}$ ；

其中，${\displaystyle L_{z}}$ 是角動量的 z-分量，${\displaystyle L_{z}=xp_{y}-yp_{x}=-i\hbar \left(x{\frac {\partial }{\partial y}}-y{\frac {\partial }{\partial x}}\right)}$ 。

所以，旋轉算符 ${\displaystyle R}$ 可以表達為

${\displaystyle R=1+{\frac {i}{\hbar }}\delta \theta L_{z}}$ 。

假設 ${\displaystyle \psi _{E}(\mathbf {r} )}$ 是哈密頓算符的能級本徵態，則

${\displaystyle H\psi _{E}(\mathbf {r} )=E\psi _{E}(\mathbf {r} )}$ 。

由於 ${\displaystyle \mathbf {r} }$ 只是一個虛設變數，

${\displaystyle H'\psi _{E}(\mathbf {r} ')=E\psi _{E}(\mathbf {r} ')}$ 。

在做一個微小旋轉之後，

${\displaystyle RH\psi _{E}(\mathbf {r} )=RE\psi _{E}(\mathbf {r} )=ER\psi _{E}(\mathbf {r} )=E\psi _{E}(\mathbf {r} ')}$ 、

${\displaystyle HR\psi _{E}(\mathbf {r} )=H\psi _{E}(\mathbf {r} ')=H'\psi _{E}(\mathbf {r} ')=E\psi _{E}(\mathbf {r} ')}$ 。

所以，${\displaystyle (RH-HR)\psi _{E}(\mathbf {r} )=0}$ 。哈密頓算符的能級本徵態 ${\displaystyle \psi _{E}(\mathbf {r} )}$ 形成一組完備集 ()，旋轉算符和哈密頓算符的對易關係是

${\displaystyle [R,\,H]=0}$ 。

因此，

${\displaystyle [L_{z},\,H]=0}$ 。

根據埃倫費斯特定理，${\displaystyle L_{z}}$ 的期望值對於時間的導數是

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle L_{z}\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [L_{z},\,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial L_{z}}{\partial t}}\right\rangle }$ 。

所以，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle L_{z}\rangle =\left\langle {\frac {\partial L_{z}}{\partial t}}\right\rangle }$ 。

由於 ${\displaystyle L_{z}}$ 顯性地不含時間，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle L_{z}\rangle =0}$ 。

總結，${\displaystyle \langle L_{z}\rangle }$ 不含時間，${\displaystyle L_{z}}$ 是個運動常數。角動量的 z-分量守恆。類似地，可以導出其它分量也擁有同樣的性質。所以，整個角動量守恆。