期望值
在概率论和统计学中,一个离散性随机变量的期望值(或数学期望,亦简称期望,物理学中称为期待值)是试验中每次可能的结果乘以其结果概率的总和。换句话说,期望值像是随机试验在同样的机会下重复多次,所有那些可能狀態平均的结果,便基本上等同“期望值”所期望的數。期望值可能与每一个结果都不相等。换句话说,期望值是该变量输出值的加权平均。期望值并不一定包含于其分布值域,也并不一定等于值域平均值。
例如,掷一枚公平的六面骰子,其每次「點數」的期望值是3.5,计算如下:
不過如上所說明的,3.5雖是「點數」的期望值,但卻不属于可能结果中的任一个,沒有可能擲出此點數。
赌博是期望值的一种常见应用。例如,美国的轮盘中常用的轮盘上有38个数字,每一个数字被选中的概率都是相等的。赌注一般押在其中某一个数字上,如果轮盘的输出值和这个数字相等,那么下赌者可以获得相当于赌注35倍的奖金(原注不包含在内),若输出值和下压数字不同,则赌注就输掉了。考虑到38种所有的可能结果,然後這裡我們的設定的期望目標是「贏錢」,則因此,討論贏或輸兩種預想狀態的話,以1美元赌注押一个数字上,則获利的期望值为:贏的「概率38分之1,能獲得35元」,加上“輸1元的情況37種”,结果约等于-0.0526美元。也就是说,平均起来每赌1美元就会输掉0.0526美元,即美式轮盘以1美元作赌注的期望值为負0.0526美元。
数学定义
并不是每一个随机变量都有期望值的,因为有的时候上述积分不存在。
如果两个随机变量的分布相同,则它们的期望值也相同。
如果是离散的随机变量,输出值为,和输出值相应的概率为(概率和为1)。
若级数绝对收敛,那么期望值是一个无限数列的和。
上面赌博的例子就是用这种方法求出期望值的。如果是连续的随机变量,存在一个相应的概率密度函数,若积分绝对收敛,那么的期望值可以计算为:
- 。
是针对于连续的随机变量的,与离散随机变量的期望值的算法同出一辙,由于输出值是连续的,所以把求和改成了积分。
性质
期望值的运用
在统计学中,估算变量的期望值时,经常用到的方法是重复测量此变量的值,再用所得数据的平均值来估计此变量的期望值。
在古典力学中,物体重心的算法与期望值的算法十分近似。
在賭博中,期望值又稱預期值、長期效果值、合理價值、期待值,都能完全貼和,而其計算的方式為:
- (期望值)勝的概率獲勝的籌碼輸的概率輸掉的籌碼
期望值也可以通过方差计算公式来计算方差:
(平方期望值減期望值平方)